带电粒子在电场和重力场中的运动 一、多选题 1．如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为 L 的绝 缘细线，细线一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m 的带电小球。小球静止时细线与 竖直方向成 θ 角，此时让小球获得初速度且恰能绕 O 点在竖直平面内做圆周运动，重 力加速度为 g。下列说法正确的是( ) mg tan  A．匀强电场的电场强度 E＝ q mgL B．小球动能的最小值为 Ek＝ 2 cos  C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 2．在竖直平面内有水平向右、电场强度为 E=1×104N/C 的匀强电场．在场中有一个半 径为 R=2m 的光滑圆环，环内有两根光滑的弦 AB 和 AC，A 点所在的半径与竖直直径 BC 成 37� 角。质量为 0.04kg 的带电小球由静止从 A 点释放,沿弦 AB 和 AC 到达圆周的 时间相同。现去掉弦 AB 和 AC，给小球一个初速度让小球恰能在竖直平面沿环内做完 整圆周运动，不考虑小球运动过程中电量的变化。下列说法正确的是(cos =0.8，g=10m/s2)（ ） 37� A．小球所带电量为 q=3.6×10－5 C B．小球做圆周运动动能最小值是 0.5 J C．小球做圆周运动经过 C 点时机械能最小 D．小球做圆周运动的对环的最大压力是 3.0N 3．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为 m、电荷量为 q 得的小球， 系在一根长为 l 的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕 O 点做圆周运动．AB 为圆周的 mg 水平直径，CD 为竖直直径．已知重力加速度为 g，电场强度为 q ．下列说法正确的 是( ) A．若小球在竖直平面内绕 O 点做圆周运动，则它运动的最小速度为 gl B．若小球在竖直平面内绕 O 点做圆周运动,，则小球运动到 B 点时的机械能最大 C．若将小球在 A 点由静止开始释放，它将在 ACBD 圆弧上往复运动 D．若将小球在 A 点以大小为 gl 的速度竖直向上抛出，它将能够到达 B 点 4．如图所示，在水平方向的匀强电场中，绝缘细线的一端固定在圆心 O 点，另一端系 一带正电的小球在竖直平面内做圆周运动，小球所受的电场力大小等于重力大小。其 中 ac 沿竖直方向，bd 沿水平方向，ef 与水平方向成 45°，则在 a、b、c、d、e、f 这六 个点中下列判断正确的是（　　） A．该小球在 a 处动能最小 B．该小球在 c 处重力势能最小 C．该小球在 b 处机械能最大 D．该小球在 f 处绳的拉力最大 5．在竖直平面内有水平向右、电场强度为 E=1×104 N/C 的匀强电场，在场中有一个半 径为 R=2 m 的光滑圆环，环内有两根光滑的弦 AB 和 AC，A 点所在的半径与竖直直径 BC 成 37� 角，质量为 0.04 kg 的带电小球由静止从 A 点释放，沿弦 AB 和 AC 到达圆周 的时间相同．现去掉弦 AB 和 AC，给小球一个初速度让小球恰能在竖直平面沿环内做 圆周运动，取小球圆周运动的最低点为电势能和重力势能的零点，（ g=10 m/s2）下列说法正确的是（ cos 37� 0.8 ， ） A．小球所带电量为 q=3.6×10－5 C B．小球做圆周过程中动能最小值是 0.5 J C．小球做圆周运动从 B 到 A 的过程中机械能逐渐减小 D．小球做圆周运动的过程中对环的最大压力是 3.0N 6．如图所示，两个半径相同的半圆形轨道分别竖直放在匀强磁场和匀强电场中，轨道 两端在同一高度上，轨道是光滑的。两个相同的带正电小球同时从两轨道左端最高点 由静止释放，M、N 为轨道的最低点，则(　　) A．两小球到达轨道最低点的速度 vM＝vN B．两小球到达轨道最低点的速度 vM>vN C．小球第一次到达 M 点的时间大于小球第一次到达 N 点的时间 D．在磁场中小球能到达轨道的另一端，在电场中小球不能到达轨道的另一端 二、单选题 7．在竖直平面内有水平向右、场强为 E 的匀强电场，在匀强电场中有一根长为 L 的绝 缘细线，一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m 的带电小球，它静止时位于 A 点，此 时细线与竖直方向成 37°角，如图所示．现对在 A 点的该小球施加一沿与细线垂直方 向的瞬时冲量，小球能绕 O 点在竖直平面内做完整的圆周运动．下列对小球运动的分 析，正确的是（不考虑空气阻力，细线不会缠绕在 O 点上） A．小球运动到 C 点时动能最小 B．小球运动到 C 点时绳子拉力最小 C．小球运动到 Q 点时动能最大 D．小球运动到 B 点时机械能最大 8．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为 m、电荷量为+q 的小球， 系在一根长为 L 的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕 O 点做圆周运动。AB 为圆周的 水平直径，CD 为竖直直径。已知重力加速度为 g，电场强度 E mg q 。下列说法正确 的是（　　） A．若小球在竖直平面内绕 O 点做圆周运动，则它运动的最小速度为 gL B．若小球在竖直平面内绕 O 点做圆周运动，则小球运动到 D 点时的机械能最小 C．若将小球在 A 点由静止开始释放，它将做完整的圆周运动 D．若将小球在竖直平面内绕 O 点做圆周运动，则小球运动到 A 点的最小速度为 v  （） 3 2  2 gL 9．如图，在水平向右的匀强电场中，有一质量为 m、带正电的小球，用长为 R 的绝 缘细线悬挂于 O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为  ，现给小球一个垂直于 悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动，A 为轨迹上的最高点，B 为小 球静止时的位置，C 为 O 等高点，下列说法正确的是（ ） A．小球在 B 点的电势能最小 B．小球从 A 运动到 C 点的过程中，动能一直增大 gR C．小球运动过程中最小的速度是 tan  D．若给球一个垂直于悬线的初速度，使小球恰能沿圆周过 A 点，则在 A 点的速度为 gR 三、解答题 10．在竖直平面内有水平向右、场强为 L  2m 为的绝缘细线，一端固定在 止时细线与竖直方向成 37o O E  1�104 N / C 的匀强电场．在场中有一根长 点，另一端系质量为 0.04kg 的带电小球，它静 角．如图所示，给小球一个初速度让小球恰能绕 O 点在竖 直平面内做圆周运动，取小球在最初静止时的位置为电势能和重力势能的零点， cos37o  0.8 ， g  10m / s 求： 2 ⑴ 小球所带电量； ⑵ 小球恰能做圆周运动的动能最小值； ⑶ 小球恰能做圆周运动的机械能最小值． 参考答案 1．AB 【详解】 A．小球静止时细线与竖直方向成 θ 角，受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条 件，有： mgtanθ＝qE 解得 mg tan  E＝ q 故 A 正确； B．小球恰能绕 O 点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点 A 速度最小，拉力为零，根 据牛顿第二定律，有： mg mv 2  cos  L 则最小动能 Ek  1 2 mgL mv  2 2 cos  故 B 正确； C．运动过程中小球的机械能和电势能之和不变，则小球运动至电势能最大的位置时机械 能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端时机械能最小，故 C 错误； D．小球从初始位置开始，若在竖直平面内逆时针运动一周，电场力先做正功后做负功再 做正功，则其电势能先减小后增大再减小，同理，若顺时针运动一周，其电势能先增大后 减小再增大，故 D 错误。 故选 AB。 2．BD 【详解】 A．因从 A 点到 E 点和 C 点的运动时间相同，因此可将 A 点看成在电场和重力场的等效最 高点，因此等效重力场的方向为 AO 方向，因此对小球进行受力分析，小球应带正电，则 有 mgtan37� qE 解得小球的带电量为 q  3 �105 C ，故 A 错误； B．小球做圆周过程中由于重力和电场力都是恒力，所以它们的合力也是恒力，小球的动 能、重力势能和电势能之和保持不变，在圆上各点中，小球在等效最高点 A 的势能（重力 势能和电势能之和）最大，则其动能最小，由于小球恰能在竖直平面沿环内做圆周运动， 根据牛顿第二定律，在 A 点其合力作为小球做圆周运动的向心力，有 v A2 mg  m cos 37� R 小球做圆周运动过程中动能最小值为 Ekmin  1 2 mv A  0.5J 2 故 B 正确； C．由于总能量保持不变，即 E  Ek  EpG  EpE 所以小球在圆上最左侧的位置，电势能 EPE 最大，机械能最小，故 C 错误； D．将重力与电场力等效成新的“重力场”，新“重力场”方向与竖直方向成 G'  mg cos 37� g'  g cos 37� 等效重力加速度为 小球恰好能做圆周运动，在等效最高点 A 点速度为 37� ，等效重力为 vA  g ' R 在等效最低点小球对环的压力最大，设小球在等效最低点的速度为 v，由动能定理得 G� � 2R  1 2 1 2 mv  mv A 2 2 由牛顿第二定律得 v2 FN  G '  m R 联立解得小球在等效最低点受到的支持力 FN  3.0N 根据牛顿第三定律知小球做圆周运动的过程中对环的最大压力大小也为 3.0N，故 D 正确。 故选 BD。 3．BD 【解析】 【详解】 A.由于电场强度 E＝ mg q ，故有 mg  qE 则等效最低点在 BC 之间，重力和电场力的合力为 2 mg，根据圆周运动公式 v2 2 mg  m L 小球在等效最高点的最小速度为 v 2 gL 故 A 错误； B.除重力和弹力外其它力做功等于机械能的增加值，若小球在竖直平面内绕 O 点做圆周运 动，则小球运动到 B 点时，电场力做功最多，故到 B 点时的机械能最大，故 B 正确； C.小球受合力方向与电场方向夹角 45°斜向下，故若将小球在 A 点由静止开始释放，它将沿 合力方向做匀加速直线运动，故 C 错误； D.若将小球在 A 点以大小为 gL 的速度竖直向上抛出，小球在竖直方向做竖直上拋，加速 度为-g，水平方向做匀加速运动，加速度为 g，当竖直方向上的位移为 0 时，运动的时间为 t2 v0 2 gL  g g x 1 2 gt  2 L 2 水平位移 则小球刚好运动到 B 点，故 D 正确。 故选 BD。 【