万有引力和航天题型总结 一、开普勒行星运动定律 二、重力加速度 图示 重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表 定律 内容 第一定 所有行星绕太阳运动的 面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引 律（轨 轨道都是椭圆，太阳处 力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的 道定 在椭圆的一个焦点上。 向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的 向心力 F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化 律） 第二定 对任意一个行星来说， 而变化，即重力加速度 g 随纬度变化而变化，从赤道到两 律（面 他与太阳的连线在相等 极逐渐增大． 积定 的时间内扫过相等的面 律） 积。 第三定 所有行星的轨道半径的 律（周 半长轴的三次方跟它的 期定 公转周期的平方的比值 律） 都相等，a3/T2=k。 注意： 1.若不计地球自转的影响，则物体在地球表面的重力等 1. 开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，对于 卫星绕行星运转，也遵循类似的运动规律。 2.比例系数 k 与中心天体质量有关，与行星或卫星质量无 关，是个常量，但不是恒量，在不同的星系中，k 值不相同。 3. T 为公转周期，不是自转周期。 二、万有引力定律 于地球对物体的万有引力，即 的重力加速度为： g 离的平方成反比。 2.表达式：F＝G GMm R 2 , 则星球表面 GM R2 2.同理，若不计地球自转的影响，在距地球表面高 h 处 gh  1.内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体 间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距 mg  的重力加速度为： GM ( R  h)2 3.若考虑地球自转的影响， m1 m2 r2 其中 G=6.67×10-11N•m2/kg2，称为为有引力恒量。 3.适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式严格地 说只适用于两质点间引力大小的计算，如果相互吸引的双 方是质量分布均匀的球体，则可将其视为质量集中于球心 的质点，此时 r 是两球心间的距离。 4.对万有引力定律的理解 （1）普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量 物体之间的相互吸引力，它是自然界中物体之间的基本的 相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物体之间 （1）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F 向和 mg 刚好在一条直线上，则有 F＝F 向＋mg， GMm 2 所以 mg=F 一 F 向＝ R －mRω 自 2 GM 2 则赤道处重力加速度为：g= R －Rω 自 2 （而地球赤道处的向心加速度 an= Rω 自 2 =0.034m/s2，因此一般不计其自转的影响；注意：当题 目中出现地球自转时需要考虑此问题。） （2）在两极处，由于物体做圆周运动半径 r 为零，向心 都存在着这种相互作用。 （2）相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与 反作用力．它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物 体上。 （3）宏观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在 可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它 的存在才有宏观物理意义。 力为零。因此重力等于万有引力，即 重力加速度达到最大值，即 g mg  GMm R 2 ，此时 GM R2 三、星球瓦解问题 假设地球自转加快，即 ω 自变大，赤道上物体的重力由 GMm 2 mg＝ R －m2Rω 自 2 知，物体的重力将变小。当 GMm R 2 =mRω 自 2 时，mg=0，此时地球赤道上的物体无 4.注意：万有引力公式 F Gm1m2 r2 量中心之间的距离；而向心力公式 Fn=mω2r 中的 r 应是该 重力，要开始“飘”起来了，若自转继续加快，星球即将要瓦 星体做圆周运动的轨道半径。 解。 七、宇宙速度 星球瓦解的临界角速度 ω 自＝ 星球瓦解的临界密度 ρ= GM R3 1.三个宇宙速度的比较 g R = 3π GT2 原理 质量 “人间”法 万有引力等于重力： v2 m r 4 2 m r 2 T2 = m r = 2 3 4π r M= 2 GT GMm mg  R2 G、r、T(或 ω、v)  M 3 r 3  V GT 2 R 3 M gR G v1=7.9km/s 人造地球卫星的最小近地 发射速度；最大环绕速度； 第二宇宙速度 v2=11.2km 使卫星挣脱地球引力束缚 （脱离速度） /s 的最小发射速度 第三宇宙速度 v3=16.7km 使卫星挣脱太阳引力束缚 （逃逸速度） /s 的最小发射速度 2、第一宇宙速度的三层含义 （3）近地卫星的环绕速度 3、第一宇宙速度的两个计算公式 GM R （M 为星球质量，R 为星球半径） （1） v  gR （2） （g 为星球表面重力加速度，R 为星球半 v G、g、R  3g 4 GR 特 例 ， 当 r=R 时 ：  第一宇宙速度 （2）最大的环绕速度 2 知量 密度 意义 （1）最小的发射速度 =v2r/G=ω2r3/G 需要已 数值 近地卫星环绕速度。 万有引力提供向心力： GMm r2 宇宙速度 （环绕速度） 六、计算天体质量和密度 “天上”法 中的 r 应是两星体质 3 GT 2 径） 3.注意：两个公式是等价的；不仅可以用于地球的第一宇 宙速度，也适用于其它星球。 八、黑洞 黑洞是一种引力极强的天体，就连光也不能逃脱。当 恒星 注意：计算天体质量需“一个中心、两个基本点”： 的半径小到一定程度时，就连垂直表面发射的光都无法 逃 1.“ 一 个 中 心 ” 即 只 能 计 算 出 中 心 天 体 的 质 量 。 逸了。这时恒星就变成了黑洞。说它“黑”，是指它就像宇宙 2.“两个基本点” 即要计算中心天体的质量，除引力常量 G 中的无底洞，任何物质一旦掉进去，“似乎”就再不能逃出。 外，还要已知两个独立的物理量。 由于黑洞中的光无法逃逸，所以我们无法直接观测到黑洞 四、双星： 然而，可以通过测量它对周围天体的作用和影响来间接观 1.两颗星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，称之为双 测或推测到它的存在。 星。 黑洞的第二宇宙速度大于光速， 2.方程 √ 2 GM >c R 对 m1：Gm1m2/L2=m1ω2r1 ； 八、卫星的四个参量 对 m2：Gm1m2/L2=m2ω2r2 由万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力得： L= r1+ r2 3.特点：“三个相等，三个反比” GMm v2 2  m  m 2 r  m( ) 2 r  man 2 r r T （1）三个相等：角速度 ω、周期 T、向心力大小相等。 （2）三个反比：半径 r、线速度 v、向心加速度 an 与其质 量 m 成反比。 解得： v GM  r ， GM r3 M T  2 a G 2 3 r ， GM ， n r 1.四个参量都是 r 的函数，r 一定，四个参量大小不变。 2.四个参量中“三度”（线速度 v、角速度 ω、加速度 a）随 着 r 的增加而减小，只有 T 随着 r 的增加而增加。 高度一定 3.任何卫星的环绕速度不大于 7.9km/s，运动周期不小于 84.4min。 R 4.上述公式适合卫星在圆轨道上运行。 速度一定 八、卫星的高度 GMm v2 2 π 2( 2 ( ) =m =mω R+h =m R +h ) R+h T ( R+ h )2 GMm v2 2 π 2( 2 ( ) =m =mω R+h =m R +h ) R+h T ( R+ h )2 ( ) ( ) 定 地球上的物体绕着地 物体（卫星）绕天体（太阳、 义 轴随地球一起转动 地球、月球等）做匀速圆周 运动 向 由万有引力的一个分 全 部 由 万 有 引 力 提 供 心 力提供 力 F 万=G+F 向 GMm r2 一定 到地轴的垂直距离， 径 从两极到赤道递增 周 等于地球自转周期 期 T=24h h=3.58×104 Km v=3.08Km/s　 a=0.228 m/s2 2、 赤道上的物体、近地卫星、同步卫星、月球比 较 赤道上的 近地卫星 同步卫星 月球 84.4mi 24h 27.3 天 v2 m = m 2 r = r 4 2 r T2 周期 24h 轨道 R=6400 R=640 4.2×104 38000km 半径 km 0km km=6.6 =60R n R 线速 0.465km 7.9km/ 3.08 度 /s s km/s 向心 0.034 9.8m/s2 0.23 加速 半 － 物体 公转 m GMT 2 2 4π GM v= R  h GM a ( R  h) 2 向心加速度 九 、自转与公转的比较 自转 √ 3 h＝ 到天体中心的距离 m/s 2 m/s 2 0.97 km/s 2.7×10-3 m/s2 度 3、同步卫星的轨道 周 期 T  2 r 同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟 3 (M 为 中 GM 地球自转方向一致即由西向东。通讯卫星可以实现全球的 电视转播，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步 角 等于地球自转角速度 速 ω=2π/T 心天体质量、r 为轨道半径)， 卫星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。由于通讯 其随半径的增大而增大 卫星都必须位于赤道上空 3.6×107m 处，各卫星之间又 角速度 不能相距太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。 GM  r 3 ，随半径 度 十一、人造地球卫星轨道 1.所谓人造地球卫星轨道就是人造地球卫星绕地球运行的 的增大而减小 线 线 速 度 v=ωr ， 从 两 速 极到赤道递增，赤道 度 处物体线速度最大 线速度 轨道。这是一条封闭的曲线。这条封闭曲线形成的平面叫 人造地球卫星的轨道平面，轨道平面总是通过地心的。 GM v r ，随半径 2.分类：(1)按轨道形状分为圆轨道(圆心为地心)和椭圆轨道 (焦点之一为地心)；(2) 按飞行方向分可分为顺行轨道（与 的增大而减小 地球自转方向相同）、逆行轨道（与地球自转方向相反）、 十、同步卫星 赤道轨道（在赤道上空绕地球飞行）和极轨道（经过地球 1.