3 .轻弹簧弹力作用下的平衡问题 一 知能掌握 （一）轻弹簧的弹力特点 1.轻弹簧（或橡皮绳)：质量、重力可视为零 2.轻弹簧（或橡皮绳）弹力大小的特点： (1)内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小 F 跟弹簧伸长(或缩短)的长度 x 成正比。 (2)表达式：F＝kx。 ①k 是弹簧的劲度系数，单位为 N/m；k 的大小由弹簧自身性质决定。 ②x 是形变量，但不是弹簧形变以后的长度。 （3）各处弹力大小相等，压缩和拉伸相同量时，弹力大小相等。 3.轻弹簧（或橡皮绳）弹力方向的特点： 轻弹簧既可伸长，也可压缩，一定沿弹簧轴线，与形变方向相反可以提供拉力、推力 4.由于弹簧和橡皮绳受到力的作用时，其形变较大，发生形变需要一段时间，所以弹簧和 橡皮绳中的弹力不能突变．但是，当弹簧和橡皮绳被剪断时，它们产生的弹力立即消失． （二）平衡问题特点 1.这类题常以单一的问题出现，涉及到的知识是胡克定律，平衡条件方程，一般用 f=kx 或 △f=k•△x 来求解。 2、静止的轻弹簧平衡时两种可能的形变 在含有弹簧的静力学问题中，当弹簧所处的状态没有明确给出时，必须考虑到弹簧既 可 以处 于拉 伸状 态， 也可 以处 于压 缩状 态， 必须 全面 分析 各种 可能 性， 以防 漏解 。 3.涉及多个弹簧和物理时，注意隔离法和整体法的应用 （三）　解决这类问题的方法是： 1.选对象。以与弹簧相联系的物体为研究对象， 2.析受力。进行受力分析，在分析弹力的时候，务必考虑到弹簧伸长和压缩两种可能 的状态也就是物体所受弹力的有两个可能的方向。 3.列方程。对物体应用平衡条件列平衡方程，结合胡克定律列出形变量和弹力的表达 式方程 4.求结果。根据平衡方程和胡克定律方程联立求解弹力或者 求出弹簧的伸长量、压缩 量 以 及 弹 簧 的 长 度 与 原 长 。 二 探索提升 【典例 1】如图 1 所示，两木块的质量分别为 m1 和 m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2，上面木块压在下面弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木 块，直到它刚离开上面的弹簧．在此过程中下面木块移动的距离为(　 　) 图1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】　在没有施加外力向上提时，弹簧 k2 被压缩，压缩的长度为：Δx＝.在用力缓慢向 上提 m1 直至 m1 刚离开上面弹簧时，弹簧 k2 仍被压缩，压缩量为 Δx′＝.所以在此过程中，下 面木块移动的距离为：Δx－Δx′＝，故选 C. 【典例 2】三个质量均为 1kg 的相同木块 a、b、c 和两个劲度系数均为 500N/m 的相同轻弹 簧 p、q 用轻绳连接，如图 2 所示，其中 a 放在光滑水平桌面上．开始时 p 弹簧处于原长， 木块都处于静止状态．现用水平力 F 缓慢地向左拉 p 弹簧的左端，直到 c 木块刚好离开水 平地面为止，g 取 10 m/s2.该过程 p 弹簧的左端向左移动的距离是( 　) 图2 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【解析】“缓慢地拉动”说明系统始终处于平衡状态，该过程中 p 弹簧的左端向左移动的距 离等于两个弹簧长度变化量之和；最初，p 弹簧处于原长，而 q 弹簧受到竖直向下的压力 FN1＝mbg＝1×10N＝10N，所以其压缩量为 x1＝＝2cm；最终 c 木块刚好离开水平地面，q 弹 簧受到竖直向下的拉力 FN2 ＝mcg＝1×10N＝10N，其伸长量为 x2 ＝＝2cm，拉力 F＝(mb ＋ mc)g＝2×10N＝20N，p 弹簧的伸长量为 x3＝＝4cm，所以 p 弹簧的左端向左移动的距离 x＝ x1＋x2＋x3＝8cm. 【典例 3】如图 3 所示，原长分别为 L1 和 L2、劲度系数分别为 k1 和 k2 的轻质弹簧竖直悬挂 在天花板上。两弹簧之间有一质量为 m1 的物体，最下端挂着质量为 m2 的另一物体，整个 装 （ 置 1 ） 处 这 时 于 两 个 静 弹 止 簧 的 状 总 长 态 度 为 。 多 大 ？ （2）若用一个质量为 M 的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长 度等于两弹簧的原长之和，求这时平板受到下面物体 m2 的压力 图3 【解析】（1）劲度系数为 k1 轻质弹簧受到的向下拉力（m1＋m2）g，设它的伸长量为 x1， 根 据 胡 克 定 律 有 ： （ m1 ＋ m2 ） g ＝ k1x1 解 得 ： 劲度系数为 k2 轻质弹簧受到的向下拉力 m2g，设它的伸长量为 x2 ，根据胡克定律有： ＝ m2g 解 k2x2 得 ： 这 时 两 个 弹 簧 的 总 长 度 为 ： L ＝ L1 ＋ L2 ＋ x1 ＋ x2 ＝ L1 ＋ L2 ＋ ＋ （2）用一个平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的 原长之和时，下面的弹簧应被压缩 x，上面的弹簧被拉伸 x。以 m1 为对象，根据平衡关系 有 ： （ k1 ＋ k2 ） x ＝ m1g 解 得 ： 以 m2 为 对 象 ， 设 平 板 对 m2 的 支 持 力 为 F N ， 根 据 平 衡 关 系 有 ： FN ＝ k2x ＋ m2g ＝ k2× ＋ m2g ＝ ＋ m2g ＝ 故这时平板受到下面物体 m2 的压力 FN＇＝ 三 高考真题 1.(2019·新课标全国卷，15)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距 80 cm 的两 点上，弹性绳的原长也为 80 cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为 100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的 伸长始终处于弹性限度内)(　　) A．86 cm B．92 cm C．98 cm D．104 cm 【答案】B 【解析】将钩码挂在弹性绳的中点时，由数学知识可知钩码两侧的弹性绳(劲度系数设 为 k)与竖直方向夹角 θ 均满足 sinθ＝，对钩码(设其重力为 G)静止时受力分析，得 G＝ 2kcosθ；弹性绳的两端移至天花板上的同一点时，对钩码受力分析，得 G＝2k，联立解得 L ＝92 cm，可知 A、C、D 项错误，B 项正确． 2.一根轻质弹簧一端固定，用大小为 F1 的力压弹簧的另一端，平衡时长度为 l1；改用大小 为 F2 的力拉弹簧，平衡时长度为 l2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数 为( 　)． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】　设弹簧原长为 l，由题意知，F1 ＝k(l－l1)，F2 ＝k(l2 －l)，两式联立，得 k ＝，选项 C 正确． 3.如图 4 所示，将两相同的木块 a、b 置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧 用细绳系于墙壁．开始时 a、b 均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a 所受摩擦 力 Ff a≠0，b 所受摩擦力 Ff b＝0.现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间(　 　)． 图4 A．Ff a 大小不变 B．Ff a 方向改变 C．Ff b 仍然为零 D．Ff b 方向向右 【答案】AD 【解析】　剪断右侧绳的瞬间，右侧细绳上拉力突变为零，而弹簧对两木块的拉力没 有发生突变，与原来一样，所以 b 对地面有向左的运动趋势，受到静摩擦力 Ff b 方向向右， C 错误，D 正确．剪断右侧绳的瞬间，木块 a 受到的各力都没有发生变化，A 正确，B 错误． 四 实践拓展 练习 1：一根轻质弹簧，当它上端固定、下端悬挂重为 G 的物体时，长度为 L1；当它下端 固定在水平地面上，上端压一重为 G 的物体时，其长度为 L2，则它的劲度系数是(　 　)． 　A.　　B.　　C.　　D. 【答案】D 【解析】　设弹簧原长为 L0，由胡克定律知，G＝k(L1－L0)，G＝k(L0－L2)，联立可得 k＝，D 对． 练习 2：如图 5 所示，将一轻质弹簧的一端固定在铁架台上，然后将最小刻度是毫米的刻 度尺竖直放在弹簧一侧，刻度尺的 0 刻线与弹簧上端对齐，使弹簧下端的指针恰好落在刻 度尺上．当弹簧下端挂一个 50 g 的砝码时，指针示数为 L1＝3.40 cm，当弹簧下端挂两个 50 g 的砝码时，指针示数为 L2＝5.10 cm.g 取 9.8 m/s2.由此可知(　 　)． 图5 A．弹簧的原长是 1.70 cm B．仅由题给数据无法获得弹簧的原长 C．弹簧的劲度系数是 28 N/m D．由于弹簧的原长未知，无法算出弹簧的劲度系数 【答案】A 【解析】　设弹簧原长为 L0，由胡克定律得 k(L1－L0)＝mg，k(L2－L0)＝2mg，解得 L0 ＝1.70 cm，k＝29 N/m，A 正确． 练习 3：S1 和 S2 表示劲度系数分别为 k1，和 k2 两根轻质弹簧，k1>k2；A 和 B 表示质量分 别为 mA 和 mB 的两个小物块，mA>mB,将弹簧与物块按图 6 示方式悬挂起来．现要求两根弹 簧的总长度最大则应使( )． 图6 A.S1 在上，A 在上 B.S1 在上，B 在上 C.S2 在上，A 在上 D.S2 在上，B 在上 【答案】D 练习 4：如图 7 所示，重 80 N 的物体 A 放在倾角为 30°的粗糙斜面上，有一根原长为 10 cm，劲度系数为 1 000 N/m 的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体 A 后，弹簧 长度缩短为 8 cm，现用一测力计沿斜面向上拉物体，若物体与斜面间最大静摩擦力为 25 N，当弹簧的长度仍为 8 cm 时，测力计读数不可能为(　 　)． A．10 N B．20 N　 　C．40 N D．60 N 图7 【答案】D 【解析】　当物体受到的静摩擦力方向沿斜面向下，且达到最大静摩擦力时，测力计 的示数最大，此时 F＋kΔx＝mgsin θ＋Ffmax 解得 F＝45 N，故 F 不能超过 45 N，选 D. 练习 5：如图 8 所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为 L，两根相同的橡皮条自由长度均为 L， 在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满 足胡克定律，且劲度系数为 k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为 2L(弹性限度内)，则 发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　 　)． 图8 A．kL B．2kL C.kL D.kL 【答案】D 【解析】对裹片受力分析，由相似三角形可得： ＝得：F＝kL 则裹片对弹丸的最大作用力为 F 丸＝F＝kL，故选项 D 正确． 练习 6：如图 9 所示，两个木块的质量分别为 m1 和 m2，两个轻