静电场考点突破微专题 14 带电体的力电综合问题之圆周运动 一 知能掌握 1、等效法处理叠加场问题 （1）各种性质的场(物质)与实际物体的根本区别之一是场具有叠加性，即几个场可以同时占据同一空 间，从而形成叠加场． （2）将叠加场等效为一个简单场，其具体步骤是：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个 “等效重力”，将 a＝视为“等效重力加速度”．再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中 分析求解即可． 2.电场中无约束情况下的匀速圆周运动: （1）物体做匀速圆周运动的条件从力与运动的关系来看，物体要做匀速圆周运动，所受合外力必须始终 垂直于物体运动的方向，而且大小要恒等于物体所需的向心力。冈此，物体做匀速圆周运动时必须受到 变 力 的 作 用 ， 或 者 不 受 恒 力 的 作 用 ， 或 者 恒 力 能 被 平 衡 。 （2）在静电力作用下的匀速圆周运动在不考虑带电粒子的重力作用时，带电粒子有两种情况可以做匀速 圆 ① 周 在 带 有 异 运 种 电 荷 的 动 同 定 点 电 。 荷 周 围 。 ② 在等量同种点电荷的中垂面上，运动电荷与场源电荷异性。在这种情境中，还要求运动电荷所具有的 初速度要与所受到的电场力垂直，且满足合外力等于所需向心力的条件。否则运动电荷可能做直线运动 椭 圆 运 动 等 。 （3）有重力参与的匀速圆周运动重力是一恒力，带电粒子要做匀速圆周运动，重力必须被平衡，一种方 式是利用水平支撑面的弹力，一种方式是利用变化的电场力的某一分力。 3. 复合场中圆周运动问题分析策略 解答电场、重力场组成的复合场中的圆周运动问题,应把握以下三点: (1)把电场力和重力合成一个等效力,称为等效重力。 (2)若带电体能做完整的圆周运动,则等效重力的反向延长线与圆周的 交点为带电体在等效重力场中运动的最高点。 (3)类比轻绳模型、轻杆模型临界值的情况进行分析解答。 二、探索提升 【典例 1】如图 1，一根长度为 L 的绝缘细线上端固定下端系一质量为 m 的带正电小球，将它放置在一水 平向右的匀强电场中，已知细线向右偏到和竖直线成 到与竖直线成某一角度 角时，小球处于平衡状态。现在将小球拉 由静止释放，当小球运动到竖直位置时速度恰好为零。 求：（1）角度 的大小？ （2）小球在运动过程中，细线的最大拉力为多少？ （已知 ， ， ，重力加速度为 g） 图1 【答案】（1）74°， （2）1.75mg 【典例 2】半径为 r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为 m、带正电荷的小球，空间存 在水平向右的匀强电场，如图 2 所示，小球所受电场力是其重力的倍，将小球从环上最低点位置 A 点由 静止释放，则： 图2 (1)小球所能获得的最大动能是多大； (2)小球对环的最大压力是多大． 【答案】　(1)mgr　(2)mg 【解析】(1)因 qE＝mg，所以 qE、mg 的合力 F 合与竖直方向夹角 tanθ＝＝，即 θ＝37°， 则小球由 A 点静止释放后从 A 到 B 过程中做加速运动，如图 3 所示，B 点动能最大，由动能定理得 qErsinθ－mgr(1－cosθ)＝Ek 解得 B 点动能即最大动能 Ek＝mgr. (2)设小球在 B 点受圆环弹力为 FN，由牛顿第二定律得 FN－F 合＝ 而 F 合＝＝mg 解得 FN＝mg，由牛顿第三定律得，小球对圆环的最大压力也为 mg. 图3 例题 3、如图 4 所示，在竖直向下的匀强电场中有一绝缘的光滑轨道，一个带负电的小球从斜轨道上的 A 点由静止释放，沿轨道下滑，已知小球的质量为 m、电荷量为－q，匀强电场的场强大小为 E，斜轨 道的倾角为 α(小球的重力大于所受的电场力) 图4 (1)求小球沿斜轨道下滑的加速度的大小． (2)若使小球通过圆轨道顶端的 B 点，求 A 点距水平地面的高度 h 至少应为多大？ (3)若小球从斜轨道 h＝5R 处由静止释放，假设其能够通过 B 点，求在此过程中小球机械能的改变量． 【答案】　(1)　(2)R　(3)－3REq 【解析】(1)根据牛顿第二定律有 (mg－qE)sin α＝ma，解得 a＝(2)若小球刚好通过 B 点，根据牛顿第二定律有 mg－qE＝ 小球由 A 到 B，根据动能定理有 (mg－qE)(h－2R)＝ 以上两式联立得 h＝R. (3)小球从静止开始沿轨道运动到 B 点的过程中，设机械能的变化量为 ΔE 机 由 ΔE 机＝W 电，W 电＝－3REq，得 ΔE 机 ＝－3REq. 【典例 4】如图 5 所示，在竖直平面内，AB 为水平放置的绝缘粗糙轨道，CD 为竖直放置的足够长绝缘粗 糙轨道，AB 与 CD 通过四分之一绝缘光滑圆弧形轨道平滑连接，圆弧的圆心为 O，半径 R＝0.50m，轨道 所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度的大小 E＝1.0×104N/C，现有质量 m＝0.20 kg、电荷量 q＝ 8.0×10－4 C 的带电体(可视为质点)，从 A 点由静止开始运动，已知 xAB＝1.0 m，带电体与轨道 AB、CD 间 的动摩擦因数均为 0.5.假定带电体与轨道之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等．求：(取 g＝10 m/s2) 图5 (1)带电体运动到圆弧形轨道 C 点时的速度； (2)带电体最终停在何处． 【答案】　(1)10m/s，方向竖直向上　(2)C 点上方到 C 点的竖直距离为 m 处 【解析】　(1)设带电体到达 C 点时的速度为 v，从 A 到 C 由动能定理得：qE(xAB＋R)－μmgxAB－mgR＝mv2 解得 v＝10m/s (2)设带电体沿竖直轨道 CD 上升的最大高度为 h，从 C 到 D 由动能定理得： －mgh－μqEh＝0－mv2 解得 h＝m 在最高点，带电体受到的最大静摩擦力 Ffmax＝μqE＝4N， 重力 G＝mg＝2N 因为 G<Ffmax 所以带电体最终静止在 C 点上方到 C 点的竖直距离为 m 处． 三 高考真题 1.(2015·四川理综·6)如图 6 所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是 O，最低点是 P，直径 MN 水 平．a、b 是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b 固定在 M 点，a 从 N 点静止释放，沿半圆槽运动 经过 P 点到达某点 Q(图中未画出)时速度为零．则小球 a(　　) 图6 A．从 N 到 Q 的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小 B．从 N 到 P 的过程中，速率先增大后减小 C．从 N 到 Q 的过程中，电势能一直增加 D．从 P 到 Q 的过程中，动能减少量小于电势能增加量 【答案】　BCD 四 实践拓展 1. 如图 7 所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为 E，在其上端，一 个质量为 m，带电量为 　　 的小球由静止下滑，则（ ） 图7 A. 小球运动过程中机械能守恒 　　 B. 小球经过最低点时速度最大 　　C. 小球在最低点对球的压力为（mg+Eq）　　D. 小球在最低点对球的压力为 3（mg+Eq）　 【答案】BD 【解析】小球在重力场和静电场构成的复合场中运动时，重力势能、动能和电势能之和守恒，小球由静 止下滑的过程中，电场力做功，电势能发生变化，因此球的机械能不守恒，选项 A 错误； 　　带正电的小球在最低点处电势能和重力势能都最小，由能量守恒知，其动能必定最大，速度最大， 选项 B 正确；　　对小球运用动能定理 　　在最低点运用牛顿第二定律 ； ， 　　解得小球在最低点受到的压力是 N=3（mg+Eq） 2.如图 8 所示，真空中存在一个水平向左的匀强电场，场强大小为 E，一根不可伸长的绝缘细线长度为 l，细线一端拴着一个质量为 m、电荷量为 q 的带负电小球，另一端固定在 O 点．把小球拉到使细线水平 的位置 A 处，由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平方向成 θ＝60°角的位置 B 时速度为零，以下说 法中正确的是(　　) 图8 A．小球在 B 位置处于平衡状态 B．小球受到的重力与电场力的关系是 qE＝mg C．小球将在 AB 之间往复运动，且幅度将逐渐减小 D．小球从 A 运动到 B 的过程中，电场力对其做的功为－qEl 【答案】D 【解析】小球的受力分析如图 9 所示，由图可知小球的运动可看作是在一个等效重力场中的摆动过程， 根据摆球模型的特点，小球在 B 位置时受力不平衡，并且小球将在 AB 之间往复运动，其幅度不变，故选 项 A、C 错误；根据摆球模型的对称性可知，当小球处在 AB 轨迹的中点位置时，小球沿切线方向的合力 为零，此时细线与水平方向夹角恰为 30°，根据三角函数关系可得：qEsin30°＝mgcos30°，化简可知，qE ＝mg，选项 B 错误；小球从 A 运动到 B 的过程中，电场力对其做的功为 W＝－qEl(1－cos60°)＝－qEl， 选项 D 正确． 图9 3.如图 10 所示，MPQO 为有界的竖直向下的匀强电场，电场强度为 E，ACB 为光滑固定的半圆形轨道， 轨道半径为 R，A、B 为圆水平直径的两个端点，AC 为圆弧．一个质量为 m、电荷量为－q 的带电小球， 从 A 点正上方高为 H 处由静止释放，并从 A 点沿切线进入半圆轨道．不计空气阻力及一切能量损失，关 于带电小球的运动情况，下列说法正确的是(　 　) 图 10 A．小球一定能从 B 点离开轨道 B．小球在 AC 部分可能做匀速圆周运动 C．若小球能从 B 点离开，上升的高度一定小于 H D．小球到达 C 点的速度可能为零 【答案】BC 【解析】本题考查学生对复合场问题、功能关系、圆周运动等知识综合运用分析的能力．若电场力大于 重力，则小球有可能不从 B 点离开轨道，A 错．若电场力等于重力，小球在 AC 部分做匀速圆周运动，B 正确．因电场力做负功，有机械能损失，上升的高度一定小于 H，C 正确．由圆周运动知识可知若小球到 达 C 点的速度为零，则在此之前就已脱轨了，D 错． 4.如图 11 所示，整个空间存在水平向左的匀强电场，一长为 L 的绝缘轻质细硬杆一端固定在 O 点、另一 端固定一个质量为 m、电荷量为＋q 的小球 P，杆可绕 O 点在竖直平面内无摩擦转动，电场的电场强度大 小为 E＝.先把杆拉至水平位置，然后将杆无初速度释放，重力加速度为 g，不计空气阻力，则( 　) 图 11 A．小球到最低点时速度最大 B．小球从开始至最低点过程中动能一直增大 C．小球对杆的最大拉力大小为 mg D．小球可绕 O 点做完整的圆周运动 【答案】BC 【解析】如图 12 所示，小球受到的重力和电场力分别为 mg 和 qE＝m