«机械能守恒定律 »考点微专题 10 轻弹簧模型中的功能关系 一 知能掌握 （一）轻弹簧弹力做功的特点及计算方法　 1. 弹 力 功 的 特 点 　　弹簧弹力的功与路径无关。同一弹簧在某一过程中弹力的功只是取决于初末状态弹簧形变量的大小 与弹力的作用点经过的路径没有关系。 2.弹力做功的计算 1 2 （1）平均力求功：因为弹力随着位移是线性变化的，所以弹力功的大小可以用平均力 F́= F 求得即， 1 1 W = F́ x= Fx= K x 2 2 2 　 　 说 明 ： 　　①上式是弹簧由原长到伸长或者压缩 x 长度的过程弹力做的功，上式中的 F 是形变量为 x 时的弹力。 　 　 ② 当 形 变 量 由 x1 变 为 x2 时 弹 力 功 的 大 小 为 1 1 W = F́ ∆ x= (F 1 + F2 )∆ x= K ( x 22−x 21) 2 2 （2）图像法求功：如图所示，弹力 F 与形变量 l 成线性关系，如果将形变量 l 分成很多小段 Δl，在各小 段上的弹力可以当作恒力处理，由 W＝FΔl 知，很多个矩形的面积之和就与弹力做功的大小相等，综合 起来考虑，图线与 l 轴所夹面积，就等于弹力做功的大小．则 W＝F·l＝kl·l＝kl2. （3）功能关系、能量转化和守恒定律求功.同时要注意弹力做功的特点：Wk= —（ 1 2 kx22 — 1 2 kx12）， （二）轻弹簧弹性势能的大小计算方法 1.功能关系： 弹力的功等于弹性势能增量的负值即： Wk= —（ 1 2 kx22 — Ep1－ Ep2，弹力做正功时弹性势能减少；弹力做负功时弹性势能增加。 1 2 kx12）＝－ΔEp＝ 1 2 2.计算公式：弹性势能的大小计算公式： E p = 2 kx （此式的定量计算在高中阶段不作要求）。 3.能的转化和守恒定律： （三）弹性势能的特点及其变化量计算的三种方法 用能量转化与守恒定律分析物理问题时，往往会涉及弹性势能的变化量的计算，有以下三种情形，。 1.同一弹簧弹性势能与形变量的平方成正比，ΔEp＝Ep2－ Ep1＝ 1 2 kx12— 1 2 kx22 ，其中弹性势 1 2 能的计算式 E p = 2 kx 高中不要求掌握，这种直接计算的方法并不常见； 1.同一弹簧形变量（拉伸或压缩）相同时弹性势能相同，弹性势能变化量为零； 2.同一弹簧形变量（拉伸或压缩）的变化量相同时弹性势能的变化量相同，结合功能关系，能量守恒定 律列式求解。 （四）轻弹簧模型功能关系相关问题的解题策略 1.选择合适的对象分析，是单个物体还是几个物体组成的一个系统。　　 2.对物体系统进行动力学分析时，往往需画出受力图，运动草图， 关注过程中的临界状态和转折点的状 态分析，物体和弹簧在一定时间和范围内做往复运动是一种简运振动。可以结合简谐运动的对称性作出 分析和判断。 3.对物体系统进行功能分析时，着眼系统根据功能关系明确各个力做功的情况，依托各种功能关系明确 各 类 形 式 能 量 的 转 化 情 况 ， 特 别 注 意 弹 力 做 功 和 弹 性 势 能 的 特 点 4.注意物体初末状态的位置变化对应的弹簧形变量的变化关系，结合功能关系，能量守恒定律列方程。 二 探索提升 题型一 轻弹簧连接单个物体 【典例 1】（2020·江苏省海门中学高三第二次调研）如图 1 所示，处于原长的水平轻弹簧左端固定在 竖直挡板上，右端贴靠置于粗糙的水平面上 O 点的质量 m 的小物块，现对物块施加水平向左的恒力 物块向左运动至最远点 P 点时立即撤去 g，则（　　） F0 ，结果物块恰好返回 O 点静止，已知 OP  x0 F0 ， ，重力加速度为 图1 A. 物块从 O 点运动到 P 点的过程加速度先减小后增加 F0 x0 B. 物块在 P 点时，弹簧的弹性势能为 2 C. 物块与水平面摩擦力因数  F0 2mg D. 物块向左运动速度最大的位置与返回向右运动速度最大的位置不在同一点 【答案】ABC 【解析】A．物块从 O 运动 P 的过程中，物块在水平方向受到弹簧向右的弹力和滑动摩擦力，弹力逐 渐增大，合力先减小后反向增大，则加速度先减小后反向增大，故 A 正确；B．根据能量守恒知全过 程 满 足 2  mgx0  F0 x0 ， 物 块 在 P 点 时 刻 ， 弹 簧 的 弹 性 势 能 Ep ， 则 Ep   mgx0  F0 x0 ， 联 立 解 得 Ep  F0 x0 ，故 B 正确；C．O 点弹簧处于原长，对物体受力分析知合力 F  F   mg  ma ，根据 0 2 F 0 能量守恒知 2 mgx  F x ，解得   ，故 C 正确；D．速度最大的位置，合力为零，弹簧弹力 2 mg 0 0 0 等于摩擦力，根据胡克定律 F=kx，应该是同一位置，故 D 错误。选 ABC。 【典例 2】（2020·天津市六校上学期期末联考）如图 2 所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为 m、套在粗糙竖直固定杆 A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从 A 处由静止开始下滑，到达 C 处 的速度为零， AC  h 。如果圆环在 C 处获得一竖直向上的速度 v，恰好能回到 A 处。弹簧始终在弹性限 度内，重力加速度为 g，则 图2 A. 从 A 到 C 的下滑过程中，圆环的加速度一直减小 B. 从 A 下滑到 C 过程中弹簧的弹势能增加量小于 mgh mv 2 C. 从 A 到 C 的下滑过程中,克服摩擦力做的功为 4 D. 上滑过程系统损失的机械能比下滑过程多 【答案】BC 【解析】A．圆环从 A 处由静止开始下滑，经过 B 处的速度最大，到达 C 处的速度为零，所以圆环先 做加速运动，再做减速运动，经过 B 处的速度最大，所以经过 B 处的加速度为零，所以加速度先减 小，后增大，故 A 错误；BC．研究圆环从 A 处由静止开始下滑到 C 过程，运用动能定理列出等式 mgh  W f  W弹  0  0  0 ，在 C 处获得一竖直向上的速度 v，恰好能回到 A，运用动能定理列出等 式  mgh  W弹  W f  0  W弹  1 2 1 1 mv ，解得 W f   mv 2 ，则克服摩擦力做的功为 mv 2 ，由分析可知， 4 4 2 1 2 1 mv  mgh ，所以在 C 处，弹簧的弹性势能为 mgh  mv 2 ，则从 A 下滑到 C 过程中弹簧的 4 4 弹性势能增加量等于 mgh  1 2 mv ，故 BC 正确；D．由能量守恒定律知，损失的机械能全部转化为 4 摩擦生热了，而摩擦生热 Q  f s ，两个过程系统损失的机械能相等，故 D 错误。故选 BC。 【典例 3】（2020·四川省泸县四中高三上学期期末）如图 3 所示，一光滑细杆固定在水平面上的 C 点， 细杆与水平面的夹角为 30°，一原长为 L 的轻质弹簧， 下端固定在水平面上的 B 点，上端与质量为 m 的 小环相连， 当把小环拉到 A 点时，AB 与地面垂直， 弹簧长为 2L， 将小环从 A 点由静止释放， 当小环 运动到 AC 的中点 D 时， 速度达到最大． 重力加速度为 g， 下列说法正确的是 图3 A. 下滑过程中小环的机械能先增大再减小 B. 小环到达 AD 的 中点时， 弹簧的弹性势能为零 C. 小环刚释放时的加速度等于 g D. 小环的最大速度为 gL 【答案】AC 【解析】小环受重力、支持力和拉力，拉力先做正功后做负功，故环的机械能先增加后减小，故 A 正确；小环到达 AD 的中点时，弹性绳的长度为 2L，伸长量为 L，故弹性势能不为零，故 B 错误；在 A 位置，环受重力、拉力、支持力，根据牛顿第二定律，有： mgsin30°+Fcos60°=ma，在 D 点，环的 速度最大，说明加速度为零，弹簧长度为 2L，故：mgsin30°-Fcos60°=0，联立解得：a=g，故 C 正确； 小环和橡皮绳系统的机械能守恒，在 D 点速度最大，此时橡皮绳长度等于初位置橡皮绳的长度，故 初位置和 D 位置环的机械能相等，故：mg（2Lcos60°）= 1 2 mv ，解得：v= 2gL ，故 D 错误；弹簧 2 在 AD 的中点时弹簧不处于原长，因此弹性势能不为零，B 错误 【典例 4】如图 4 所示，一物体质量 m＝2 kg，在倾角 θ＝37°的斜面上的 A 点以初速度 v0＝3 m/s 下 滑，A 点距弹簧上端 B 的距离 AB＝4 m．当物体到达 B 点后将弹簧压缩到 C 点，最大压缩量 BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为 D 点，D 点距 A 点的距离 AD＝3 m．挡板及弹簧质量 不计，g 取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，求： 图4 (1)物体与斜面间的动摩擦因数 μ； (2)弹簧的最大弹性势能 Epm. 【答案】(1)0.52　(2)24.46 J 【解析】本题考查能量守恒定律。 (1)物体从开始位置 A 点到最后 D 点的过程中，弹簧弹性势能没有发生变化，物体动能和重力势能减 少，机械能的减少量为 ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37° ① 物体克服摩擦力产生的热量为 Q＝Ffx ② 其中 x 为物体的路程，即 x＝5.4 m ③ Ff＝μmgcos 37° ④ 由能量守恒定律可得 ΔE＝Q ⑤ 由①②③④⑤式解得 μ≈0.52. (2)由 A 到 C 的过程中，动能减少 ΔE′k＝mv ⑥ 重力势能减少 ΔE′p＝mglACsin 37° ⑦ 摩擦生热 Q＝FflAC＝μmgcos 37°lAC ⑧ 由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为 Epm＝ΔE′k＋ΔE′p－Q ⑨ 联立⑥⑦⑧⑨解得 Epm≈24.46 J. 【典例 5】(2019.福建泉州质检)如图 5,在距水平地面 h1=1.2 m 的光滑水平台面上,一个质量 m=1 kg 的小物块压缩弹簧后被锁定。现解除锁定,小物块与弹簧分离后以一定的水平速度 v1 向右从 A 点滑离平台, 并恰好从 B 点沿切线方向进入光滑、竖直的圆弧轨道 BC。已知 B 点距水平地面的高度 h2=0.6 m,圆弧 轨道 BC 的圆心 O 与水平台面等高,C 点的切线水平,圆弧轨道 BC 在 C 点与长 L=2.8 m 的水平粗糙直轨 道 CD 平滑连接,小物块恰能到达 D 处。重力加速度 g 取 10 m/s2,空气阻力忽略不计。求: 图5 (1)小物块由 A 到 B 的运动时间 t; (2