杆连接体的机械能守恒问题专题 一、单选题 1. ¿ 一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为 m 和 2m 的小球 A 和 B ¿ 均可视为质点 ¿ 。支架的 两直角边长度分别为 2l 和 l，支架可绕固定轴 O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时 OA 边 ¿ 处于水平位置，由静止释放两球，重力加速度为 g，则 ¿ ¿ A. A 球的最大速度为 2 ❑√ gl B. 当 A 球的速度最大时，A 球的重力势能最小 C. 当 A 球第一次转动到与竖直方向的夹角为 45 ° 时，A 球的速度大小为 √ ❑ 8 ( ❑√ 2− 1 ) gl 3 D. B 球能上升的最大高度小于 l 2. 长为 L、质量可不计的刚性的硬杆，左端通过铰链固定于 O 点，中点及右端分别固定质量为 m 和质量 为 2m 的小球，两球与杆可在竖直平面内绕 O 点无摩擦地转动．开始时使杆处于水平状态并由静止释 放，如图所示．当杆下落到竖直位置时，在杆中点的球的速率为 3. √ √ √ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ 5 gL 9 3 gL 5 5 gL 3 √ 2 gL 如图所示，半径为 R=0.4 m 的 1/4 圆弧形光滑轨道固定于竖直平面内，圆弧形轨道与光滑固定 的水平轨道相切，可视为质点的质量均为 m=0.5 kg 的小球甲、乙用轻杆连接，置于圆弧形轨道上， 小球甲与 O 点等高，小球乙位于圆心 O 的正下方．某时刻将两小球由静止释放，最终它们在水平面上 2 运动．g 取 10 m/s . 则 ( ) A. 两小球由静止释放后速度大小相等，最终在水平面上运动的速度大小为 4 m/s B. 小球甲下滑过程中重力对它做功的功率一直增大 C. 小球甲下滑到圆弧形轨道最低点对轨道压力的大小为 5 N D. 整个过程中轻杆对小球乙做的功为 1 J 4. 如图所示，半径为 R 的光滑圆轨道固定在竖直面内，可视为质点、质量分别为 m、2m 的小球 A、B 用长为 ❑ √3 R 的轻杆连接放在圆轨道上，重力加速度为 g，开始时杆水平，由静止释放两球，当 A 球运动到与圆心等高的位置时，B 球 ¿ 的速度大小为 ¿ 5. √ ¿ 2❑ √ 3− 1) gR 3 A. ❑ ( C. ❑ √ ❑ 3 (1 − √ ) gR 3 √( √ 3− 1) gR B. ❑ ❑ D. ❑ √ ❑ 3 (1 − √ ) gR 4 两根等长轻杆通过铰链与三个小球 A、B、C 相连，并处于同一竖直平面内。如图所示，现将 C 球置于 距离地面一定高度处，A、B 两球与地面接触，均处于静止状态。某时刻将 C 球由静止释放，三个小 球在该竖直平面内运动，不计一切摩擦，三个小球均可视为质点，在 C 球下落过程中，下列说法正确 ¿ 的是 ¿ ¿ A. C 球落地前的瞬间，A 球的速度最大 B. C 球落地前的瞬间，A 球的速度为零 C. 在 C 球下落过程中，A、B 两球的速度时刻相同 D. 在 C 球下落过程中，A、B 两球的速度一直增大 6. 如图所示，内壁光滑的圆形轨道固定在竖直平面内，轨道内甲、乙两小球固定在轻杆的两端，甲、乙 两小球的质量相同，开始时乙小球位于轨道的最低点，现由静止释放轻杆，在甲小球第一次滑到最低 点的过程中，下列说法正确的是 ( ) A. 轻杆对系统不做功 B. 甲小球滑到最低点时，甲小球具有向右的瞬时速度 C. 轻杆对乙小球做负功 D. 甲小球的机械能减少，动能一直增大 7. 如图所示，可视为质点的小球 A 和 B 用一根长为 l=0.2 m 的轻杆相连，两球质量相等。开始时两小 球置于光滑的水平面上，并给两小球一个 v 0 =2 m/ s 的初速度，经一段时间两小球滑上一个倾角为 30 ° 的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，g 取 10 m/s 2 ，在两小球的速度减小为零 ¿ 的过程中，下列判断正确的是 ¿ ¿ A. 杆对小球 A 做负功 B. 小球 A 的机械能守恒 C. 杆对小球 B 做正功 D. 小球 B 速度为零时距水平面的高度为 0.15 m 8. 如图所示，质量 M =2 kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量 m=1 kg 的 小球通过 L=0.5 m 的轻质细杆与滑块上的光滑轴 O 连接，小球和轻杆可在竖 直平面内绕 O 轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的 2 初速度 v 0 =4 m/ s ，g 取 10 m/ s . 则 A. 若锁定滑块，小球通过最高点 P 时对轻杆的作用力为 12 N B. 若解除对滑块的锁定，滑块和小球组成的系统动量守恒 C. 若解除对滑块的锁定，小球通过最高点时速度为 3 m/s 2 D. 若解除对滑块的锁定，小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离为 3 m 二、多选题 9. 如图所示，小滑块 P、Q 的质量均为 m，P 套在固定光滑竖直杆上，Q 放在光滑水平面上。P、Q 间通 过铰链用长为 L 的轻杆连接，轻杆与竖直杆的夹角为 α ，一水平轻弹簧左端与 Q 相连，右端固定在 竖直杆上。当 α=30 ° 时，弹簧处于原长，P 由静止释放，下降到最低点时 α 变为 60 ° ，整 个运动过程中，P、Q 始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为 g。 则 P 下降过程中 ❑ A. 弹簧弹性势能最大值为 √ 3 −1 mgL 2 B. 竖直杆对滑块 P 的弹力始终大于弹簧弹力 C. 滑块 P 的动能达到最大前，P 的机械能一直在减少 D. 滑块 P 的动能达到最大时，Q 受到地面的支持力大于 2 mg 10. 滑块 a、b 的质量均为 m，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h，b 放在地面上。a、b 通过铰 链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b 可视为质点，重力加速度大小为 g。则 () A. a 落地前，轻杆对 b 一直做正功 B. a 落地时速度大小为 ❑ √ 2 gh C. a 下落过程中，其加速度大小始终不大于 g D. a 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为 mg 11. 如图所示，滑块 A、B 的质量均 m，A 套在固定倾斜直杆上，倾斜杆与水平面成 45 ° ，B 套在固定 水平的直杆上，两杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计且足够长，A、B 通过铰链用长度为 L 的刚 ¿ 性轻杆相连 ¿ 初始时轻杆与平面成 30 ° ¿ ，A、B 从静止释放，B 开始沿水平面向右运动，不计 一切摩擦，滑块 A、B 视为质点，在运动的过程中，下列说法中正确的是 () A. A、B 组成的系统机械能守恒 B. 当 A 到达与 B 同一水平面时，A 的速度为 ❑ √ gL C. B 滑块到达最右端时，A 的速度为 D. B 滑块最大速度为 ❑ √ 2 gL ❑ √ 3 gL 12. 如图，质量分别为 m 和 2m 的两个小球 A 和 B，中间用长为 2L 的轻杆相连，在杆的中点 O 处有一固定 转动轴，把杆置于水平位置后由静止释放，在 B 球顺时针摆动到最低位置的过程中 () A. A、B 两球角速度大小始终相等 B. 重力对 B 球做功的瞬时功率一直增大 C. B 球摆动到最低位置时的速度大小为 √ ❑ 2 gL 3 D. 杆对 B 球做正功，B 球机械能不守恒 13. 如图所示，在竖直平面内有一个半径为 R 的四分之一圆弧轨道 BC，与竖直轨道 AB 和水平轨道 CD 相 ¿ 切，轨道均光滑。现有长也为 R 的轻杆，两端固定质量均为 m 的相同小球 a、 b ¿ 可视为质点 ¿ ， 用某装置控制住小球 a，使轻杆竖直且小球 b 与 B 点等高，然后由静止释放，杆将沿轨道下滑。设小 球始终与轨道接触，重力加速度为 g。则 () A. 下滑过程中 a 球和 b 球组成的系统机械能守恒 B. 下滑过程中 a 球机械能守恒 C. 小球 a 滑过 C 点后，a 球速度为 2 1 D. 从释放至 a 球滑过 C 点的过程中，轻杆对 b 球做功为 2 mgR 14. ¿ ¿ ¿ 多选 ¿ 如图所示，长度为 l 的轻杆上端连着一质量为 m 的小球 A ¿ 可视为质点 ¿ ，杆的下 端用铰链固接于水平面上的 O 点。置于同一水平面上的立方体 B 恰与 A 接触，立方体 B 的质量为 M。 今有微小扰动，使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，而 A 与 B 刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为 π () 。 6 ，重力加速度为 g，则下列说法正确的是 A. A 与 B 刚脱离接触的瞬间，A、B 速率之比为 2∶ 1 √ ❑ B. A 与 B 刚脱离接触的瞬间，B 的速率 v B= C. 此时杆对 A 的弹力为零 D. A、B 质量之比为 1∶ 4 gl 4 答案和解析 1.【答案】C 【解析】 【分析】 AB 两个球组成的系统机械能守恒，但对于单个的球来说机械能是不守恒的，根据系统的机械能守恒列式 可以求得 AB 之间的关系，同时由于 AB 是同轴转动的，它们的角速度的大小相同。 本题中的 AB 的位置关系并不是在一条直线上，所以在求 AB 的势能的变化时要注意它们之间的关系，在解 题的过程中还要用到数学的三角函数的知识，要求学生的数学基本功要好，本题由一定的难度。 【解答】 B.由机械能守恒可知，A 球的速度最大时，二者的总动能最大，此时两球总重力势能最小，A 球的重力势 能不是最小，B 错误； AC . 根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为 v A ︰ v B=R A ︰ RB =2︰ 1 ，当 OA 与竖直方向 1 2 2 1 2 2 的夹角为 θ 时，由机械能守恒得 mg⋅ 2l cos θ −2 mg⋅l(1− sinθ)= m v A + ⋅2m v B ，解得 8 8 2 v A = gl ( sinθ+ cos θ ) − gl ，由数学知识知，当 θ=45 ° 时， sinθ + cosθ 有最大值，A 球速度 2 3 的最大值为 v A = √ ❑ 8 ( ❑√ 2− 1 ) gl ，故 A 错误，C 正确； 3 D.当 A 下降 2l，B 上升 l 时，根据系统机械能守恒，此时 A、B 的速度均为零，所以 B 球能上升的最大高度 等于 l，故 D 错误。 故选 C。 2.【答案】A 【解析】 【分析】 两球与杆一起下摆至竖直位置的过程中，对两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，根据系统机 械能守恒列式，结合两球线速度大小关系求解。 本题主要考查系统机械能守恒，