2020-2021 学年高一物理下期末《知识点 • 考点 • 题型》高效复习专题 专题 03 万有引力与宇宙航行 {知识点精辟归纳} 一：开普勒行星运动定律 定律 开普勒第一定律 内容 公式或图示 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭 圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 对任意一个行星来说，它与太阳的 开普勒第二定律 连线在相等的时间内扫过相等的面 积 公式：＝k，k 是一个与行星无关 所有行星的轨道的半长轴的三次方 的常量 开普勒第三定律 跟它的公转周期的二次方的比值都 相等 二．万有引力定律 一：内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在 它们的连线上，引力的大小与物体的 质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比． (2)公式 F＝G. 3．符号意义 (1)G 为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取 G＝6.67×10－11N·m2/k g2. (2)r 为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 二．万有引力的四个特性 特性 普遍性 相互性 宏观性 特殊性 内容 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两 个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是 满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不 计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引 力起着决定性作用 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关， 而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 三．万有引力的效果 万有引力 F＝G 的效果有两个，一个是重力 mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力 Fn＝mrω2，如图 623 所示，重力是万有引力的一个分力． 图 623 1．重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大． (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上 F＝Fn＋mg，即 G＝mrω2＋mg，所以 mg＝G－m rω2. (2)地球两极处：向心力为零，所以 mg＝F＝G. (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小 mg＜G，重力的方向偏离地心． 2．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近 ： mg＝G，若距离地面的高度为 h，则 mg＝G(R 为地球半径，g 为离地面 h 高度处的重力加速 度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 三：万有引力理论的成就的应用 一：天体质量与天体的密度 1．求天体质量的思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体 (或卫星)的向心 力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量． 2．计算天体的质量 下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法： (1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，半径为 r，根据万有引力等于向心力， 即 ＝m 月 2r，可求得地球质量 M 地＝. (2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和月球运行的线速度 v，由于地球对月球的 引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得 G＝m 月，解得地球的质量为 M 地＝. (3)若已知月球运行的线速度 v 和运行周期 T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆 周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得 G＝m 月·v· G＝ 以上两式消去 r，解得 M 地＝. (4)若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g，根据物体的重力近似等于地球对物 体的引力，得 mg＝G 解得地球质量为 M 地＝. 3．计算天体的密度 若天体的半径为 R，则天体的密度 ρ＝ 将 M＝代入上式得 ρ＝. 二：天体运动问题 1．解决天体运动问题的基本思路 一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有 引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中 a 是向心加速度． 2．四个重要结论 设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动 (1)由 G＝m 得 v＝ ，r 越大，天体的 v 越小． (2)由 G＝mω2r 得 ω＝，r 越大，天体的 ω 越小． (3)由 G＝m()2r 得 T＝2π ，r 越大，天体的 T 越大． (4)由 G＝man 得 an＝，r 越大，天体的 an 越小． 以上结论可总结为“越远越慢，越远越小”． 四：双星问题的分析方法 宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星 球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定 点 O 做同周期的匀速圆周运动．这种结构叫做双星模型(如图 641 所示)． 图 641 双星的特点 1．由于双星和该固定点 O 总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等， 即双星做匀速圆周运动的角速度必然相等，因此周期也必然相等． 2．由于每颗星球的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等 ， 即 m1ω2r1＝m2ω2r2，又 r1＋r2＝L(L 是双星间的距离)，可得 r1＝L，r2＝L，即固定点离质量大 的星球较近． 五：宇宙航行 一：宇宙速度 数值 第一宇 宙速度 第二宇 宙速度 第三宇 宙速度 意义 卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的 7.9 km/s 速度 11.2 km/s 使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度 16.7 km/s 使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度 1．第一宇宙速度的定义 又叫环绕速度，是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，是人 造地球卫星的最小发射速度，v＝7.9 km/s. 2．第一宇宙速度的计算 设地球的质量为 M，卫星的质量为 m，卫星到地心的距离为 r，卫星做匀速圆周运动的线 速度为 v： 方法一：→→ 方法二：→→ 二：卫星各物理量分析 ： 项目 v与r 的关系 ω与r 的关系 T与r 的关系 a与r 推导式 关系式 结论 G＝m v＝ r 越大，v 越小 G＝mrω2 ω＝ r 越大，ω 越小 G＝mr2 T＝2π r 越大，T 越大 G＝ma a＝ r 越大，a 越小 的关系 由上表可以看出：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心 加速度越小．可以概括为“高轨低速长周期”． 三．人造地球卫星的轨道 人造卫星的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道． (1)椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上． (2)圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，由于万有 引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道平面内绕地 球做匀速圆周运动． 图 654 总之，地球卫星的轨道平面可以与赤道平面成任意角度，但轨道平面一定过地心．当轨 道平面与赤道平面重合时，称为赤道轨道；当轨道平面与赤道平面垂直时，即通过极点，称 为极地轨道，如图 654 所示． 2．地球同步卫星 (1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星． (2)六个“一定”． ① 同步卫星的运行方向与地球自转方向一致． ② 同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h. ③ 同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度． ④ 同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方． ⑤ 同步卫星的高度固定不变． ⑥ 同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为 v，由于 G＝m，所以 v＝＝ 四：卫星变轨问题的处理技巧 1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由 G＝m，得 v＝，由此可 见轨道半径 r 越大，线速度 v 越小．当由于某原因速度 v 突然改变时，若速度 v 突然减小，则 F＞m，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度 v 突然增大，则 F＜m，卫星将做离心运动， 轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动． 2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度也相同． {考点题型精辟归纳} 考点题型一：开普勒行星运动定律 1．根据开普勒行星运动定律，下述说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳的运动都是严格的匀速圆周运动 B．某个行星绕太阳运动时，在远日点的速度大于在近日点的速度 C．在太阳的各个行星中，离太阳越远周期越长 D．行星绕太阳运动的公转周期与行星到太阳的距离的二次方成正比 2．在太阳系中有关行星的运动的说法，正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的中心 B．行星在近日点的速度大于在远日点的速度 C．所有行星轨道半长轴的三次方跟它的自转周期的二次方的比都相等 D．行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值与行星有关 3．航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上 的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有（　　） A．在轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于经过 B 的速度 B．在轨道Ⅱ上经过 A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过 A 的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过 A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的加速度 考点题型二：万有引力定律 m1m2 4．下列关于万有引力定律 F＝G r 2 的说法，正确的是（　　） A．开普勒通过研究行星运动的规律发现了万有引力定律 B．牛顿通过地—月引力计算首先推算出了引力常量 C．万有引力定律中引力常量 G 的单位是 N·m2/kg2 D．研究微观粒子之间的相互作用时万有引力不能忽略 F 5．某物体在地面上受到地球对它的万有引力为 F。若此物体受到的万有引力减小到 4 ，则此物体距地面 的高度应为（R 为地球的半径）（　　） A．R 6．在半径为 B．2R R 、质量为 M C．3R D．8R 、质量分布均匀的铜球中挖去一个半径为 0.5R 的球形部分，留下的空穴与铜 球表面相切。在铜球外有一个质量为 m 、可视为质点的小球，它位于铜球、空穴球心连线的延长线上，到 铜球球心的距离为 2R 。挖去后铜球剩余部分对小球吸引力的大小是（　　） GMm A． 4 R 2 gmM B． 18 R 2 5GMm C． 36 R 2 7GMm D． 36 R 2 考点题型三：万有引力理论的成就的应用 7．为了纪念祖冲之的功绩，1964 年，紫金山天文台将永久编号为 1888 小行星命名为“祖冲之星”。已知“祖 冲之星”绕太阳的运动