第六章 圆周运动 专题强化练 4 平抛运动与圆周运动的综合应用 1.某游戏装置如图所示,左侧是一支柱,右侧竖直放置一半径 R=0.5 m、内径很小的圆弧形管道,弹射 装置可以将置于支柱上 A 处的小球水平向右弹出。一质量 m=0.2 kg 的小球(可视为质点)以 v0=3 m/s 的初速度被弹出后,正好从 B 处沿圆弧切线方向进入圆管(小球的直径略小于圆管横截面直径),运动 到管口 D 处时的速度大小 vD= ❑ √6 m/s。已知 OB 与 OC 的夹角 α=53°,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,不计 空气阻力,g 取 10 m/s2。试求: (1)小球运动到 B 处时的速度大小; (2)A、B 间的高度差; (3)小球运动到 D 处时对管壁弹力的大小和方向。 2.如图所示,人骑摩托车做腾跃特技表演,沿曲面冲上高 0.8 m 顶部水平的高台,接着以 v=3 m/s 的水平 速度离开高台,落至地面时,恰能无碰撞地从 A 点沿圆弧切线方向进入光滑竖直圆弧轨道,并沿轨道下 滑。A、B 为圆弧两端点,其连线水平。已知圆弧半径为 R=1.0 m,人和车的总质量为 180 kg,特技表演 的全过程中,阻力忽略不计。(计算中取 g=10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6) (1)求从高台飞出至到达 A 点,人和车运动的水平距离 s。 (2)若人和车运动到圆弧轨道最低点 O 时的速度 v'= ❑ √ 33 m/s,求此时对轨道的压力大小。 (3)求人和车从平台飞出到达 A 点时的速度大小及圆弧轨道对应的圆心角 θ。 3.如图所示,轨道 ABCD 的 AB 段为一半径 R=0.2 m 的光滑 1 4 圆弧轨道,BC 段为高为 h=5 m 的竖直 轨道,CD 段为水平轨道。一质量为 0.2 kg 的小球从 A 点由静止开始下滑,到达 B 点时速度的大小为 2 m/s,离开 B 点后做平抛运动。取 g=10 m/s2,求: (1)小球离开 B 点后,在 CD 轨道上的落点到 C 点的水平距离; (2)小球到达 B 点时对圆弧轨道的压力大小; (3)如果在 BCD 轨道上放置一个倾角 θ=45°的斜面(如图中虚线所示),那么小球离开 B 点后能否落到 斜面上?如果能,求它第一次落在斜面上的位置距离 B 点有多远。如果不能,请说明理由。 答案全解全析 1.答案　(1)5 m/s　(2)0.8 m　(3)0.4 N,方向竖直向上 解析　(1)小球从 B 处沿圆弧切线方向进入圆管,将小球运动到 B 处时的速度沿水平方向与竖直方向 分解,如图: 可得 vB= v0 3 = 0. 6 cos α m/s=5 m/s (2)小球运动到 B 处时,竖直方向的分速度 vy=v0 tan α=3× 4 3 m/s=4 m/s 从 A→B,小球在竖直方向做自由落体运动,有 vy=gt 解得下落时间 t=0.4 s A、B 间的高度差 h= 1 2 2 gt =0.8 m (3)设小球在 D 处时受到管壁对其的作用力方向竖直向下 ,大小为 N,根据牛顿第二定律有 2 vD mg+N=m ,解得 N=0.4 N;根据牛顿第三定律,可知小球在 D 处时对管壁的作用力方向竖直向上, R 大小为 0.4 N。 2.答案　(1)1.2 m　(2)7 740 N　(3)5 m/s　106° 解析　(1)人和车从高台飞出至到达 A 点做平抛运动,竖直方向上有 H= 水平方向上有 s=vt1 1 t2 2 g 1 联立并代入数据解得 t1=0.4 s,s=1.2 m。 2 v' (2)在圆弧轨道最低点 O,由牛顿第二定律得 N-mg=m R 代入数据解得 N=7 740 N 由牛顿第三定律可知,人和车在圆弧轨道最低点 O 对轨道的压力大小为 7 740 N。 (3)人和车到达 A 点时,竖直方向的分速度 vy=gt1=4 m/s 到达 A 点时的速度 vA= √ v +v ❑ 2 2 y =5 m/s 设 vA 与水平方向的夹角为 α,则 sin α= vy 4 = 5 ,解得 α=53°,所以 θ=2α=106°。 vA 3.答案　(1)2 m　(2)6 N　(3)能　1.13 m 解析　(1)设小球离开 B 点后做平抛运动的时间为 t1,落点到 C 点的距离为 x,由 h= √ ❑ 1 t2 2 g 1 得 t1= 2h =1 s,x=vBt1=2 m。 g (2)在圆弧轨道的最低点 B,设轨道对小球的支持力为 N v 2B 由牛顿第二定律有 N-mg=m R 代入数据解得 N=6 N 由牛顿第三定律知,小球到达 B 点时对圆弧轨道的压力大小为 6 N。 (3)如图所示,斜面 BE 的倾角 θ=45°,CE 长为 d=h=5 m,因为 d>x,所以小球离开 B 点后能落在斜面 上。 假设小球第一次落在斜面上 F 点,BF 长为 L,小球从 B 点到 F 点运动的时间为 t2,则 L cos θ=vBt2 L sin θ= 1 2 g t2 2 联立解得 t2=0.4 s,L≈1.13 m。