2022 年高考物理复习 万有引力与航天计算过关测试卷 1．2020 年 4 月 24 日，中国行星探测任务被命名为“天问系列”，首次火星探测任务被命名为“天间一号”。 根据“嫦娥之父”欧阳自远透露：我国计划于 2020 年登陆火星。假如某志愿者登上火星后将一小球从高为 h 的地方由静止释放，不计空气阻力，测得经过时间 t 小球落在火星表面，已知火星的半径为 R，引力常量 为 G，不考虑火星自转，求： （1）火星的质量； （2）火星的第一宇宙速度； （3）若有一卫星环绕火星表面做匀速圆周运动，求卫星的运行周期。 2．假设地球可视为质量分布均匀的球体，不考虑地球自转的影响且已知地球的密度为  ，地球表面的重 力加速度为 g，引力常量为 G，据此，求： (1)地球半径 R 的表达式； (2)甲、乙两同学认为地球密度相等，且两同学计算均无错误，若甲同学以 6500 km ，乙同学以 g  9.8m / s 2 g  10m / s 2 估算出地球半径为 估算，地球半径应是多少？ 3．中国赴南极考察船“雪龙号”，从上海港口出发一路向南，经赤道到达南极。某同学设想，在考察船“雪 龙号”上做一些简单的实验，来测算地球的平均密度；当“雪龙号”停泊在赤道时，用弹簧测力计测量一个 钩码的重力，记下弹簧测力计的读数 F1，当“雪龙号”到达南极后，仍用弹簧测力计测量同一个钩码的重力， 记下弹簧测力计的读数 F2。设地球自转的周期为 T，万有引力常量为 G，圆周率为  已知，不考虑地球两 极与赤道半径差异。试求： （1）地球的平均密度； （2）若人造卫星绕地球做圆周运动的最大速度为 vm ，则地球的半径多大。 4．“玉兔号”登月车在月球表面成功登陆，实现了中国人“奔月”的伟大梦想，若“玉兔号”登月车在月球表面 做了一个自由落体实验，测得物体从静止自由下落 h 高度的时间为 t，已知月球半径为 R，引力常量为 G，不考虑月球自转的影响。求： （1）月球表面重力加速度 g （2）月球的第一宇宙速度 （3）月球质量 M 5．某近地卫星 a 的轨道与赤道共面共心，绕行方向与地球自转方向相同。b 是地球的同步卫星。在相同 时间内 a、b 两卫星转过的角度之比为 8∶1。已知同步卫星的周期为 24 h，卫星 a、b 都做圆周运动。试计 算： （1）卫星 a 的周期； （2）卫星 a 与 b 的轨道半径之比。 6．有一质量为 M、半径为 R、密度均匀的球体，在距离球心 O 为 2R 的地方有一质量为 m 的质点，引力 常量为 G。球体对 m 的万有引力 F 有多大。 1 7．某星球的质量约为地球质量的 9 倍，半径约为地球半径的 2 ，若在地球上高 h 处平抛一物体，水平射 程为 90m。求： （1）该星球的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比； （2）该星球的重力加速度与地球的重力加速度之比； （3）该星球上从同样的高度和同样的初速度平抛同一物体，水平射程为多少？ 8．2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，在西昌卫星发射中心，用长征三号乙火箭将北斗三号第 55 颗全球组网卫 星顺利送入如图所示预定的地球同步轨道，发射任务取得圆满成功，标志着北斗全球卫星导航系统星座 部署完成。若地球半径为 R ，自转周期为 T ，同步轨道离地面的高度为 h ，引力常量为 G。试求： (1)第 55 颗北斗导航卫星在轨运行的向心加速度的大小； (2)地球的密度。 9．木星的卫星“埃欧”是太阳系中火山活动最剧烈的星体，“埃欧”的火山会喷出硫磺、二氧化硫及矽酸盐岩 块，如果喷发的岩块竖直初速度为 20 m/s，上升高度可达 100 m。已知“埃欧”的半径为 R＝2000 km，忽 略“埃欧”的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2 /kg2，（结果均保 留 2 位有效数字）求： （1）“埃欧”的质量； （2）“埃欧”的第一宇宙速度。 10．某人造地球卫星沿圆轨道运行，运行高度为 万有引力常量 G  6.67 �1011 N � m2 /kg 2 （1）该人造卫星的线速度； （2）估算地球的质量。 ）求： 400km ，周期是 5.6 �103 s ，（已知地球半径为 6400km ， 11．火星可视为半径为 r0 的均匀球体，它的一个卫星绕火星运行的圆轨道半径为 r，周期为 T。求： （1）火星表面的重力加速度； （2）在火星表面离地 h 处以水平速度 v0 抛出的物体，落地时速度多大。（不计火星空气阻力） 12．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间 t，小球落到星球表面，测 得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度增大为原来的 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离 为 2 L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常量为 G，求： (1)该星球表面自由落体加速度的大小； (2)星球的平均密度 ρ。 13．已知 万有引力常量为 G，地球半径为 R ，地球表面重力加速度为 g。 （1）求地球的质量； （2）将它放置在火箭中，在火箭以 a= g 的加速度随火箭向上匀加速升空的过程中，当该物体所受的支持 2 力为其地表重力的 0.75 倍时，卫星距地球表面有多远？ 14．“玉兔号”月球车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想。“玉兔号”在月球表面做了 一个自由落体实验，测得物体从静止自由下落 h 高度的时间为 t，已知月球半径为 R，自转周期为 T，引 力常量为 G。求： （1）月球表面重力加速度和月球的“第一宇宙速度”； （2）月球同步卫星距离月球表面的高度。 15．中子星（neutron star）是除黑洞外密度最大的星体，恒星演化到末期，经由重力崩溃发生超新星爆炸 之后，可能成为中子星，中子星的发现成为上世纪 60 年代天文学的四大发现之一。银河系深处有颗半径 R=10km 的中子星，其表面的重力加速度 g=6.67×1012m/s2，引力常量 G=6.67×10-11N·m2/kg2，不考虑中子星 的自转。求 （1）此中子星的质量 M； （2）环绕此中子星沿圆轨道运动的小卫星的最小周期 T（取 6.67 =2.58，计算结果保留 2 位有效数字） 16．天宫一号和神州八号分别于 2011 年 9 月 29 日和 11 月 1 日成功发射，并在空间完成交会对接，实现 中国载人航天工程的一个新的跨越。天宫一号由长征运载火箭将其送入近地点为 A，远地点为 B 的椭圆 轨道上，实施变轨后，进入预定圆轨道，其简化的模拟轨道如图所示。假设近地点 A 距地面高度为 h，飞 船在预定圆轨道上飞行 n 圈所用的时间为 t，地球表面的重力加速度为 g，地球半径 R，试求： （1）天宫一号在近地点 A 的加速度 aA 大小。 （2）天宫一号在预定圆轨道上飞行的速度 v 的大小。 （3）地球质量 M 和平均密度。 17．某星球的质量约为地球的 9 倍，半径为地球的一半，若从地球上高 h 处平抛一物体，水平射程为 90m ， 2 地球表面 g 取 10m / s ，则： （1）该星球表面重力加速度多大？ （2）在该星球上以同样高度、同样初速度平抛同一物体，水平射程为多少？ 18．如图所示，O 为地球的球心，A 为地球表面上的点，B 为 O、A 连线上的一点， AB  d  视为质量分布均匀的球体，半径为 R，设想挖掉以 B 为球心、以 R ，将地球 2 d 半径的球。若忽略地球的自转，球的体 2 4 3 积公式 V球  3 R 。求： （1）若已知万有引力常量为 G，地球的密度为  ，挖去球体前地球表面 A 点的重力加速度大小； （2）挖出球体后 A 点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比。 参考答案： 2R 2hR 2 2hR t 1．(1) Gt 2 ；(2) t ；(3) h 【解析】 (1)据小球的自由落体运动可得 h 1 2 gt 2 在火星表面，物体 m 的重力等于万有引力 mg  G Mm R2 联立解得火星的质量为 M 2hR 2 Gt 2 (2)在火星表面的近地卫星运行速度即为第一宇宙速度，满足 mg  m v2 R 解得 v 2hR t (3)由重力作为向心力可得 4 2 mg  mR � 2 T 解得 T  t 2．(1) R 【解析】 (1)根据 3g 4 G (2)6370km 2R h G Mm  mg R2 且 = M M  4 V  R3 3 解得 R 3g 4 G R 3g 4 G (2)根据 乙同学以 g  9.8m / s 2 估算，地球半径 R 3．（1）  R' 6500 g �9.8km=6370km ' g 10 v T 3 F2 R m ；（2） 2 GT ( F2  F1 ) 2 F2  F1 F2 【解析】 （1）设地球半径为 R、质量为 M、体积为 V、平均密度为  ，钩码在赤道地区 F万  F1  m0 4 2 R T2 钩码在南极地区有 F万 =F2  GMm0 R2 又因为 4 M  V   �  R3 3 解得  3 F2 GT ( F2  F1 ) 2 （2）当卫星贴近地表运行时线速度最大，则由万有引力提供向心力 GMm vm2  m R2 R 解得 R 4．（1） g F2  F1 F2 vmT 2 2hR 2h 2R 2 h v  M  1 t 2 ；（3） t 2 ；（2） Gt 2 【解析】 (1)根据自由落体运动，有 h 1 2 gt 2 解得 g 2h t2 (2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力，有 GMm v12  m R2 R 解得 v1  gR  2hR t2 (3)在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，有 mg  GMm R2 M 2R 2 h Gt 2 解得 5．（1） 3h ；（2） 1 4 【解析】 （1）因为 θ= ωt 可得，a、b 两卫星的角速度之比为 a  a 8   b b 1 由周期公式 T  2 a  可得，卫星 的周期 Ta  （2）根据开普勒第三定律，有 b 1 � Tb  �24h  3h a 8 ra3 Ta2  rb3 Tb2 解得 r1 1  r2 4 6． G Mm 4R2 【解析】