万有引力定律相关综合计算专题突破 1．2021 年 5 月 15 日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆， 在火星上首次留下中国印记。若我国的“天问一号”探测器在离火星表面高度为 h 的空中沿圆形轨道绕火星 飞行，周期为 T，火星半径为 r，引力常量为 G，求： （1）火星的质量； （2）火星表面的重力加速度； （3）火星的第一宇宙速度。 2．“天问一号”于 2020 年 7 月 23 日在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨 道，2021 年 6 月 11 日，中国国家航天局举行了“天问一号”探测器着陆火星首批科学影像图揭幕仪式，公 布了由“祝融号”火星车拍摄的着陆点全景、火星地形地貌、“中国印迹”和“着巡合影”等影像图，标志着中 国首次火星探测任务取得圆满成功。“天问一号”环绕器继续环绕火星运行在中继通信轨道上。“天问一号” 环绕器运行轨道对应的周期为 T ，离火星表面高度为 h ，线速度为 v ，万有引力常量为 G 。 （1）求火星的质量 M ； （2）求火星表面的重力加速度大小 g 。 3．2020 年 11 月 24 日凌晨 4 点 30 分，在海南文昌航天发射场，长征五号遥五运载火箭全速托举中国探月 工程嫦娥五号探测器划过夜空，迈出中国首次地外天体采样返回的第一步。发射升空后，嫦娥五号轨道 器将携带着陆器、上升器以及返回器完成地月转移、中途修正和近月制动。进入环月轨道后，轨道器与 着陆上升组合体分离，携带返回器留轨运动，着陆上升组合体变轨后在贴近月球表面的圆形轨道上运行 数圈后安全着陆。已知月球的半径为 R，万有引力常量为 G，着陆上升组合体在贴近月球表面的圆形轨道 上运行的周期为 T。求： （1）月球的质量 M； （2）轨道器在距离月球表面高为 h 的圆形轨道上运行的线速度 v。 4．如图甲是中国航天的“天问一号”火星探测器，2021 年 2 月 10 日 19 时 52 分，在经过长达七个月，4.75 亿公里的漫长飞行之后，“天问一号”精准实施近火捕获制动，成功进入环火星轨道。如图乙所示是近火捕 获及变轨过程的示意图，探测器由轨道Ⅰ进入 P 点，经过变轨进入轨道Ⅱ，再经过多次变轨进入火星的 近火轨道Ⅲ（轨道半径与火星半径近似相等）做匀速圆周运动。已知探测器的质量为 m，火星的质量约 为地球质量的 0.1 倍，火星的半径约为地球半径的 0.5 倍，地球表面的重力加速度为 g0，地球的第一宇宙 速度为 v0 （1）求火星表面的重力加速度 g火 ； （2）求探测器在近火轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的运行速度 v火 ； （3）探测器在 S 点的动能为 EKS，在 S 点时的重力势能比在 P 点的重力势能大 EP，忽略探测器质量的变 化，求由轨道Ⅱ经多次变轨到轨道Ⅲ的过程，制动发动机对探测器所做的总功。 5．我国于 2018 年发射了“嫦娥五号”航天器，航天器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间 t （小于绕行周期），运动的弧长为 s ，航天器与月球中心连线扫过的角度为  （弧度），引力常量为 G ， 求： （1）航天器的轨道半径 r 的值； （2）月球的质量 M 的值。 6．我国发射的“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆，这是人类航天史上的历史性时刻，开启了人类月 球探测的新篇章。“嫦娥四号”着陆前在月球表面附近的环月轨道上做匀速圆周运动，已知地球表面的重力 加速度为 g，地球的半径为 R，地球质量为月球质量的 p 倍，地球半径为月球半径的 q 倍，求： (1)月球表面的重力加速度 g 月； (2) “嫦娥四号”在环月轨道上做匀速圆周运动的周期 T。 7．2021 年 5 月 15 日，我国火星探测器“天问一号”的着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆 区，相信不远的将来，我们就能实现宇航员登陆火星。假设宇航员在火星表面做实验，将一个小球以初 速度 v0 t G 竖直上抛，经过时间 小球落回抛出点。已知火星的半径为 R ，万有引力常量为 ，忽略空气阻力 和火星自转影响。 （1）求火星表面附近的重力加速度 g火 ； （2）估算火星的质量 M ； （3）假设“天问一号”绕火星运行的轨道为圆形轨道，周期为 T ，求“天问一号”距离火星表面的高度 h 。 8．2021 年 2 月我国发射的“天问一号”火星探测器，对火星的地貌和环境进行了探测，将人类探测宇宙的 脚步推向前进。设质量为 m 的“天宫一号”环绕器，在距火星表面高为 R 处，做周期为 T 的匀速圆周运动， 已测得火星半径为 R ，火星视为均质球体引力常量为 G ，求： （1）火星的质量； （2）火星表面的重力加速度大小； （3）若在火星表面发射一颗近火卫星，求发射的最小速度。 9．2021 年新年国内科技新闻揭晓，北斗导航系统全面建成成功入选。北斗卫星导航系统空间段由 35 颗 卫星组成，其中有 5 颗地球同步卫星。已知地球同步卫星距地面的高度为 h，地球半径为 R，地球的自转 周期为 T，万有引力常量为 G，设地球赤道表面上的物体随地球自转的线速度大小为 v，同步卫星运行时 的线速度的大小为 v� 。求： （1）v 与 v� 之比；（2）地球的质量。 10．开普勒定律发现以后，牛顿在前人对惯性研究的基础之上，开始思考：行星沿圆周或者椭圆运动， 需要指向圆心或者椭圆焦点的力，这个力就应该是太阳对行星的引力。 （1）我们把行星绕太阳的运动近似看成匀速圆周运动。请你运用牛顿运动定律、开普勒定律以及圆周运 动的向心力公式等已经学习过的知识，推导出太阳与行星间引力的表达式； （2）牛顿推导出太阳与行星间的引力表达式后，进一步思考；太阳对行星的作用力、地球对月球的作用 力、地球对树上苹果的作用力是不是同一种性质的力呢？这就是著名的“月地检验”。已知地球表面物体做 自由落体运动的加速度 g 约为 月球的公转周期为 27.3d，约 9.8m/s 2 ，地球半径约为 2.36 �106 s 6.4 �106 m ，月球中心距地球的距离约为 ，请根据这些数据完成“月地检验”的证明。 3.8 �108 m ， 11．2020 年 7 月 23 日我国在海南文昌航天发射场用长征五号遥四运载火箭将火星探测器“天问一号”发射 升空。2021 年 2 月，“天问一号”到达火星附近，实施火星捕获，将围绕火星运动。5 月 15 日，“天问一号” 携带“祝融号”火星车及其着陆组合体成功着陆于火星表面，我国首次火星探测任务着陆火星取得了圆满成 功，成为世界上第二个能独立自主地探测火星并实现探测器成功登陆火星的国家，彰显着我国科技水平 已处于领先世界的地位。若将“天问一号”围绕火星的运动看作匀速圆周运动，其质量为 m，轨道半径为 r，它到火星表面的距离为 h，运行周期为 T，引力常量为 G，忽略其他天体对它的引力作用。求： （1）火星的质量 M； （2）火星表面处的重力加速度 g。 12．如图，A 为地球同步卫星，B 为近地卫星（轨道半径近似等于地球半径），两者在同一个平面内绕地 球沿同一个方向做匀速圆周运动。已知地球的自转周期为 T，A 的轨道半径是 B 的 k 倍，引力常量为 G， 求 （1）地球的平均密度； （2）这两颗卫星相邻两次距离最近的时间间隔。 13．天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，确立了万有引力定律的地位。哈雷彗星的轨道是一个椭圆， r1 其轨道周期为地球公转周期的 76.1 倍，若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为 ，地球公转半径为 R， 3 2 公转周期为 T，取 76.1  18 ，求： r2 （1）哈雷彗星在远日点与太阳中心的距离 ；（2）哈雷彗星在近日点的加速度大小 a。 14．某中学高一物理兴趣小组想测一下地球密度，他们做了这样的实验猜想：假设有一质量为 m 的物体， 在地球两极用弹簧测力计测得的读数为 F1 ，在地球赤道上用同一个弹簧测力计测得的读数为 F2 。地球的 自转角速度为  ，引力常量为 G ，将地球看成是质量分布均匀的球体，那么该小组验证地球的密度的公 式是什么？ 15．2021 年 4 月 29 日，搭载空间站天和核心舱的“长征五号”B 遥二运载火箭，在我国文昌航天发射场点 火升空，天和核心舱与火箭成功分离进入预定轨道。已知核心舱入轨后在距地面高度为 kR（R 为地球的 半径）的轨道上做匀速圆周运动，地球表面的重力加速度大小为 g，忽略地球的自转，求： (1)核心舱入轨后运动的向心加速度大小 a；(2)核心舱入轨后运动的线速度大小 v。 16．地球的质量为 M，地球同步卫星的轨道半径为 r，引力常量为 G。 （1）求地球同步卫星的向心加速度；（2）“天问一号”某次绕火星做圆周运动的向心加速度与地球同步卫 星的加速度大小相等，求此时“天问一号”离火星表面的高度。（已知火星质量为 m，火星半径为 R） 17．2020 年 5 月 27 日，中国珠峰高程测量登山队 8 名队员成功登顶珠穆朗玛峰，标志着我国珠峰高程测 量取得关键性胜利。 （1）本次珠峰高程测量依托北斗卫星导航系统进行了峰顶位置的精确测量。北斗卫星导航系统中，有一 颗质量为 m1 一颗质量为 m地 的卫星 A，它的轨道与地球赤道在同一平面内，从地面上看，它在一定高度处静止不动。另 m2 的卫星 B，离地面高度为 h。两颗卫星都绕地球做近似的匀速圆周运动。已知地球质量为 ，地球半径为 R，地球自转周期为 T0 ，引力常量为 G。求： ① 卫星 A 运行的角速度大小；②卫星 B 运行的线速度大小。 （2）本次珠峰高程测量还在珠峰北坡地区开展广泛的高精度航空重力测量以及峰顶重力测量，获得有史 以来精度最高的珠峰高程测量成果。 若将地球视为半径为 R，质量均匀分布的一个球体，地球表面海平面处的重力加速度大小为 高处的重力加速度大小为 g2 g1 。与峰顶等 。不考虑地球自转的影响。请根据所学的知识推导珠穆朗玛峰高度的表达式。 18．质量为 100kg 的“勇气”号火星车于 2004 年成功登陆在火星表面。若“勇气”号在离火星表面 12m 时与降 落伞自动脱离，被气囊包裹的“勇气”号下落到地面后又弹跳到 18m 高处，这样上下碰撞了若干次后，才静 止在火星表面上。已知火星的半径为地球半径的 0.5 倍，质量为地球质量的 0.1 倍。若“勇气”号第一次碰 撞火星地面时，气囊和地面的接触时间为 0.7s ，其损失的机械能为它与降落伞自动脱离处（即离火星地 面 12m 时）动能的 70%，（地球表面的重力加速度 （1）火星表面的重力加速度； g  10m / s 2 ，不考虑火星表面空气阻力）