万有引力定律相关综合计算拔高训练 1．某人在地球表面完成了如下实验：长为 L 的轻绳，一端固定在 O 点，另一端系一小球，在最高点给小 球一初速度 v0，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动。已知地球的半径为 R，引力常量为 G。忽略地 球自转。求： （1）地球的第一宇宙速度大小？ （2）地球的平均密度为多大？ （3）已知月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为地球半径的 60 倍，求月球做匀速圆周运动的线速度 大小？ 2．在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题．卡文迪许利用微小量放大法由 实验测出了万有引力常量 G 的数值，下图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。卡文迪许的实验常被称为是 “称量地球质量”的实验，因为由 G 的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为 第一个称量地球的人。 （1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为 m1、m2 相距为 r 的两个小球之间引力的大小为 F，求万 有引力常量 G； （2）若已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，万有引力常量为 G，忽略地球自转的影响，请推 导出地球质量 M 及地球近地卫星的环绕速度 v。 3．2020 年 12 月 1 日，嫦娥五号探测器的着陆历经主动减速、悬停避障、缓速下降和自由下落等阶段， 已知探测器自由下落 5m 后落到月球表面，月球表面重力加速度为 总质量为 4 �103 kg 1.6m/s 2 ，月球半径 1.75 �106 m ，探测器 ，求： （1）探测器悬停时发动机的推力多大； （2）探测器落到月面时的速度大小； （3）探测器绕月球表面飞行的环绕速度。 4．据媒体报道，“神舟九号”飞船于 2012 年 6 月 24 日与“天宫一号”目标飞行器展开手控交会对接。“天宫一 号”目标飞行器，是我国自主研制的全新的载人飞行器，计划在轨道上的工作运行时间为 2 年，它可以与 载人飞船进行多次对接。已知“天宫一号”飞行器质量为 m，运行高度为 h，地球半径为 R，地球表面的重 力加速度为 g。求： （1）“天宫一号”受到地球的万有引力大小； （2）“天宫一号”的运行周期。 5．如图所示，在某质量分布均匀的行星，其表面重力加速度未知，在该行星表面上有一个匀质转盘，转 盘上两个质量均为 m 的物体 A、B 位于圆心的两侧，两物体 A、B 到圆心的距离分别为 L、2L。当角速度 为 ω 时，物体 B 刚要相对转盘发生相对滑动。已知两物体 A、B 与转盘间的动摩擦因数 μ（最大静摩擦力 等于滑动摩擦力）,行星的半径为 R，引力常量为 G，求： （1）B 刚要滑动时，A 所受的摩擦力大小是多少？ （2）此行星的质量； （3）此行星的第一宇宙速度大小。 6．火箭搭载着探测器从地球表面发射，飞向月球。探测器与火箭箭体分离后，进入月球表面附近的预定 轨道，绕月球做匀速圆周运动。 （1）若测得探测器环绕月球运动的周期为 T0，求月球的平均密度；（已知万有引力恒量为 G，球体体积 4 3 公式 V   R ） 3 （2）火箭内的平台上放有测试仪器，若火箭从地面起飞后，一直以加速度 g0 竖直向上做匀加速直线运 2 11 动（g0 为地面附近的重力加速度），某时刻测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的 27 ，求此时火箭离 地面的高度 h。（已知地球半径为 R） 7．已知地球半径 R，自转周期 T0，地球表面重力加速度为 g。小明家位于纬度  处，每天晚上他都能通 过望远镜看到有颗人造卫星 a 位于头顶正上方（整晚仅一次且时刻相同）并缓缓移动。通过查阅资料得 知该人造卫星绕地球做匀速圆周运动，如图所示。 （1）人造卫星 a 是否是地球同步卫星?它绕地球运动一周的时间 T 为多少? （2）求人造卫星 a 的轨道半径 r（计算结果也可直接用 T 表示 a 的周期）。 8．2021 年 5 月 15 日，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着我国首次火 m1 r1 星探测任务取得成功。已知：地球质量与火星质量之比 m2 约为 10，地球半径与火星半径之比 r2 约为 2， 求： （1）不考虑自转的影响，地球表面与火星表面的重力加速度之比约为多少？ （2）地球与火星的第一宇宙速度之比约为多少？ 9．2021 年 2 月 10 日 19 时 52 分，“天问一号”探测器实施近火捕获，顺利进入大椭圆环火轨道，成为我国 第一颗人造火星卫星，实现“绕、落、巡”目标的第一步，环绕火星成功。如图所示为“天问一号”探测器经 过多次变轨后登陆火星前的部分轨迹图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于 P 点，轨道Ⅲ为环绕火星的圆 形轨道，探测器距火星表面的高度为 H，P、S 两点分别是椭圆轨道的近火星点和远火星点，P、S、Q 三 点与火星中心在同一直线上，S、Q 间距离为 H。探测器在轨道Ⅲ上绕火星做周期为 T 的匀速图圆周运动， 火星半径为，引力常量为 G。求： （1）火星的质量及火星表面的重力加速度； （2）火星的第一宇宙速度； （3）探测器在轨道Ⅱ上的运动周期。 10．假设探测器到达火星，静止在火星表面上时，内部进行了竖直上抛运动实验，小球以速度 v0 竖直向 t0 上抛出，只在重力作用下经过时间 返回（竖直上抛过程，小球上升高度远小于火星半径），当探测器 贴着火星表面做匀速圆周运动时，周期是 T，万有引力常量为 G，忽略火星的自转，把火星看成球体，求。 （1）火星表面的重力加速度以及火星的密度； （2）火星的半径。 11．2020 年 12 月 17 日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我 国首次月球采样返回任务圆满完成。探月卫星的发射过程可简化如图所示：首先进入绕地球运行的“停泊 轨道”，在该轨道的 P 处通过变速再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被 月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”绕月飞行（视为匀速圆周运动），对月 球进行探测。月球半径为 R ，卫星在“工作轨道”上运行周期为 T 、距月球表而的高度为 h ，忽略其他天体 对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响。 （1）要使探月卫星从“停泊轨道”进入“转移轨道”，应在 P 点增大速度还是减小速度？ （2）求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小；（3）求月球的第一宇宙速度大小。 12．2021 年 5 月 15 日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星成功着陆，迈出了我国星际探测 征程的重要一步。“天问一号”探测器在着陆前，绕火星做匀速圆周运动，其轨道距火星表面的高度为 h， 周期为 T。已知火星半径为 R，引力常量为 G。求： （1）火星的质量 M；（2）火星表面的重力加速度 g； 13．假设离中心天体无穷远处引力势能为零，则万有引力势能的表达式为 Ep   GMm （其中 是中心天 r M 体的质量， m 为围绕中心天体运动的星体的质量， r 为做圆周运动的星体到中心天体中心的距离）。同步 卫星的发射需要多次变轨，进入不同的椭圆转移轨道。如图所示是发射某颗地球同步卫星的两个椭圆转 移轨道，椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ的近地点均为 a 点，远地点分别为 b 、 c 点，已知地球质量为 M ，卫星质量为 m ，引力常量为 G ra : rb : rc  1: 2 : 3 ra  R b c a ，近地点 、远地点 、 到地心的距离 ，且 。求： （1）求卫星在 b 点和 c 点受到的万有引力之比；（2）卫星由 a 点到 b 点万有引力势能的变化量； （3）卫星在 b 点和 c 点的线速度之比。 14．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面，从某点以水平初速度 v0 t 抛出一个小球，测得小球经时间 落 到星球表面，落地瞬间速度方向与水平方向成 60�角。已知该星球半径为 R ，万有引力常量为 G ，求： （1）该星球表面的重力加速度 g ； （2）该星球的密度  ﹔ （3）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期 T 。 15．中国自行研制，具有完全自主知识产权的“天舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技 术。5 月 29 日 20 时 55 分，搭载天舟二号货运飞船的长征七号遥三运载火箭，在我国文昌航天发射场准 时点火发射，成功将飞船送入近地点为 A、远地点为 B 的椭圆轨道上。A 点距地面的高度为 h1 ，飞船飞行 五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示，设飞船在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t，若已知地 球表面重力加速度为 g，地球半径为 R，求： （1）地球的平均密度是多少； （2）椭圆轨道远地点 B 距地面的高度 h2 。 16．2020 年 12 月 17 日，我国“嫦娥五号”返回器携带月球样品安全着陆。以下是某同学就有关月球的知识 设计的两个问题，请你解答： （1）若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球中心与地球中心间距离 r，且把月球绕地球 的运动近似看作是匀速圆周运动，求：月球绕地球运动的周期； （2）若已知月球半径为 R0 ，月球质量分布均匀，引力常量为 G，月球表面的重力加速度为 g0 ，求：月球 的密度。 17．绕地球做圆周运动的某人造地球卫星，离地面高度为 h，运动周期是 T。将地球看作质量分布均匀的 球体，已知地球半径为 R，万有引力常量为 G。根据以上所给物理量，试求： （1）该人造卫星运动的角速度大小； （2）地球的质量； （3）近地卫星运行周期（近地卫星的轨道半径可以认为就等于地球半径 R）。 18．如图所示，在某星球表面上用一根长度为 L  1m 不可伸长的细绳连接一个质量为 m  0.5kg 的小球， 细绳与小球连接处有一轻质拉力传感器。现使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到最高点时， 拉力传感器的示数为 为 R  6 �10 4 km F1  2N ，引力常量 ；当小球运动到最低点时，拉力传感器的示数为 G  6.67 �1011 N � m 2 kg 2 。求： （1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的平均密度是多少（保留 2 位有效数字）。 F2  26N 。已知该星球半径 参考答案 1．（1） v0 2 0 R v0 R 3v L ；（2） 4 GRL ；（3） 2 15 L 【解析】(1)小球在最高点，恰好由重力作为向心力 mg  m v02 L 解得 g v02 L 近地卫星的环绕速度即为第一宇宙速度，由向心力公式可得 v2 m� g  m�1 R 联立解得 v1  v0 R L (2)忽略地球自