三十一、2019 年清华大学暑假学校测试 1．如图 1 所示，F1，F2 平行于光滑的斜面，两物体一起向上运动，则两物体间的弹力为 （ ）． A．0 B． C． D．无法判断 2．如图 2，A，B 两点有等量正电荷，OA＝OB＝2L， 从 C 移向 O 再移向 D，则（ ，OD＝L，若将一正电荷 ）． A．电势能一直减小 B．电势能先减小再增大 C．电场力一直减小 D．电场力先减小再增大再减小 3．如图 3，质量为 m＝1 kg 的光滑小球，以初速度 v0＝5 m/s 沿轨道向右运动，光滑的地 面上有一质量为 M＝4 kg，半径为 R＝0.5 m 的光滑四分之一圆弧轨道，则（ ）． A．小球到达最高点时速度为 1 m/s B．小球到达最高点时重力势能增加 6 J C．小球上升后不能再回到轨道 D．小球回到点 A 时速度为-3.5 m/s 4．有一近地卫星，运行周期为 T0，地球自转周期为 T，则地球平均密度与保证地球不被 撕裂的最小密度之比为（ A． B． C． ）． D． 5．如图 4，正△ABC 边长为 L，分布有垂直纸面向内磁场 B，以 BC 中点 O 为坐标原点 建立平面坐标系，从 O 向第一象限发射初速度为 的正离子，求 AB 上被打到的长 度． 6．如图 5 所示，一正三角形光滑框架 ABC 边长为 L，在 AB，AC 边中点 M，N 各有一光 滑圆环，一原长为 的弹性绳连接轻质的 MN，在 MN 中点挂一质量为 m 的物体．若整个 过程中弹性绳始终在弹性限度内，弹性系数为 k，弹性势能表达式为 ，则 自由释放 m 后，m 速度最大为多少？ 7．如图 6 所示，一圆盘离地高度为 h，半径为 R，边缘放置一质量为 m 的物体，与圆盘 动摩擦因数为 μ，圆盘转动角速度 ω＝kt，求： （1）物体飞出圆盘时经过的时间； （2）物体飞出圆盘时，圆盘转过角度及摩擦力做的功； （3）物体落地点与圆盘中心的水平距离． 8．如图 7 所示，有一根 1 m 长的刚性绳，一端固定在点 O，另一端拴着一个质量为 m＝ 1 kg 的大小可忽略不计的小球，点 O 下方 0.8 m 处的点 O′有一颗钉子．初始时小球在点 O 上方 0.2 m 处，现将小球以 v0＝2 m/s 的水平初速度抛出，求： （1）何时绳子伸直？ （2）小球到达最低点的速度是多少？ （3）小球到达最低点后再次到达的最高点在何处？(g＝10 m/s2) 答案： 1．B 解法一：设沿斜面向上的加速度为 a，两物体弹力为 F，对整体有 F1-F2-(m1+m2)gsin θ＝(m1+m2)a 对 m2 有 F-F2-m2gsin θ＝m2a 解得 解法二：设两物体的加速度分别为 a1 和 a2．直接列 a1＝a2，即 得 2．A 容易判断出 AO 段电场线方向沿 x 轴正向，BO 段电场线沿 x 轴负向，y 轴正半轴上 电场线方向沿 y 轴正向．则 C 移向 O 再移向 D 电势能一直减小． 从 A 到 O 电场力大小逐渐变小，点 O 处电场力大小为 0，在 y 轴正向电场力大小先变大 再变小，最大值在 处，则从 O 到 D 应当是电场力变大． 定量计算：设 A，B 两点为+Q，运动电荷为 q 如图 1， 令 y＝cos2sin θ （当 ，即 时） 另：求 y＝cos2θsin θ 极值，亦可令 y 的一阶导数为 0，即 y′＝0，同样可以求解． 3．A 先分析物理过程．小球先上升到轨道最高点然后飞出，最终达到最高点．小球飞 出轨道后和轨道在水平方向共速，速度为 v，由动量守恒有 mv0＝(m+M)v⇒v＝1 m/s． 到最高点时，势能增量为 ． 由势能增量知，小球到达最高点时确实在轨道外，且和轨道水平方向共速，则之后小球 还会落回轨道．小球和轨道运动的全过程可以看作是一次完全弹性碰撞，碰撞后 m 和 M 速 度分别为 v1 和 v2，由完全弹性碰撞知： ， ．综上 知只有 A 正确． 4．D 设 M 是地球质量，有 对近地卫星，有 对临界情况下地球赤道上的一个质点 m0，有 则 5．正离子在磁场中做逆时针旋转，旋转半径 圆易得所求区域的上端点到 B 的距离为 ，这个半径是△ABC 的内切 ，而所求区域的下端点应当对应沿 y 轴正方向射 出的粒子，下面我们研究这个粒子的运动如图 2 所示．其回旋中心设为 D，则 回旋中心与下端点 E 的距离等于旋转半径 R，我们需要求出点 E 到点 B 的距离．已知 ∠EBD 为 60°，由余弦定理可知 解得 于是区域的长度为 (0.5-0.32891)L＝0.17109L 6．首先，因为圆环和框架间是光滑接触，因此自物块释放后，由于环不计质量，所以环 受绳力，一定垂直框架，我们可以认为弹性绳左、右两段将分别与框架的两斜边垂直（即 在竖直方向的夹角为 60°），弹性绳的总长度 x 也将等于物块悬挂点与三角形顶点的距离． 物块的速度达到最大时，其合力应当为零，可以得到 由机械能守恒可知 联立解得 7．物块在脱离圆盘之前，其加速度由两个正交分量构成，即向心加速度 ω2R 和切向加 速度 kR（图 3），为了维持这样的加速度，需要圆盘给物块提供对应的摩擦力，当摩擦力 无法维持加速度时，物块将脱离圆盘做平抛运动，这种情况也有可能发生在初始时刻． （1）物块所受最大静摩擦力 fm＝μmg 物块在脱离圆盘前的实际受力大小 其中 ω＝kt，可见，F 随时间单调递增，当 F 的最小值大于 fm 时，物块在初始时刻即掉落， 对应 μg≤kR，t＝0． 在 μg＞kR 的情形下，物块脱离圆盘时，F＝fm，代入 ω＝kt，可以解得 （2）若 μg≤kR，t＝0，ω＝0，θ＝0；若 μg＞kR，有 （3）若 μg≤kR，水平距离 d＝R．相当于一个自由落体，若 μg＞kR，相当于物体从圆盘 边缘平抛有 其中抛射初速度 v＝ωR＝ktR，T 为落地时间， ，联立解得 8．先分析小球运动．小球抛出后绳子处于松弛状态，小球只受重力，做平抛运动，直到 某一时刻绳子伸直，这是第一阶段． 此后，小球受绳子的牵连做圆周运动，直到碰到钉子，此为第二阶段． 碰到钉子后，小球会继续做圆周运动，但是可能会存在某一时刻绳子又松弛（圆周运动 的绳模型），这一阶段为第三阶段． 绳子再次松弛后，小球做斜抛运动，这是第四阶段． 以上就是小球抛出去后大致的物理图像，在动手解题前应当先考虑清楚． （1）如图 4，绳子平抛到点 B 时第一次伸直，有 其中，L 为绳长，由上式解得 t＝0.4 s． （2）绳子绷直后，小球在垂直于绳方向速度不变，有 v1＝gtsin θ-v0cos θ＝2 m/s 则到达最低点时速度为 （3）圆周运动到达最高点的临界速度为 ． 若小球能运动到最高点，在最高点处速度为 则 v3＞u，则小球能到达圆周最高点 D． 综上，小球能到达的最高点为 O 下方 0.6 m 处，在最低点绳会碰钉子，但不会有能量损 失．