第 18 讲 专题：传送带 知识图谱 传送带模型中的动力学问题 知识精讲 一． 传送带的基本规律分析 问题提出：飞机场、火车站、汽车站都有安全检查仪，其中送装置可以简化成的一个传送带。人把行李放在 以恒定速 v0 运行的传送带上，行李如何运动？ 通过比较行李与传送带的相对运动，可以判断，在水平方向上，行李受到水平向右的摩擦力， F  f   mg ， 且为恒力。根据牛顿第二定律，得 a   g 。行李向右做匀加速直线运动。当行李速度等于传送带速度时，行李和 传送带达到相对静止，摩擦力消失，行李和传送带以匀速运动的速度共同做匀速直线运动。 行李达到最大速度之前，行李运动的时间和位移分别为： v v v v2 1 1 t 0  0 x  at 2   g ( 0 )2  0 a g ， 2 2 g 2 g ， 而传送带的位移为： x�  v0t  v0 v0 v2  0 g g 。 假定传送带的长度为 L，对于行李的运动规律可以总结为：当 L  x 时，行李先加速后匀速；当 L  x 时，行李 恰好完成加速；当 L  x 时，行李一直做匀加速。 二． 水平传送带问题 1．物体在水平传送带上从静止开始运动的情况 正如前一部分讨论过，物体可能的运动有两种情况。（1）当传送带的长度较短时， L  x 时，行李一直做匀 加速，加速度由摩擦力提供；（2）当 L �x 时，行李先加速，且加速度由摩擦力提供， F  f   mg ，增加到与 传送相同的速度时，两者以相同的速度运动，此时，摩擦力突变为零。 2．当物体的初速度不为零时，与传送带同向运动 （1）当物体开始运动的速度大于传送带的速度时，即 v  v0 ，物体的运动分为两种情况：（1）当 L  x 1 x  vt  at 2 2 （ ，x 表示物体在摩擦力的作用下减速到传送带的速度时所前进的位移）时，行李一直做匀减速 运动，加速度由摩擦力提供；（2）当 L �x 时，物体先减速，减速到与传送相同的速度时，两者以相同的速 度运动，此时，摩擦力消失。 （2）当物体开始运动的速度小于传送带的速度时，即 v  v0 ，物体的运动分为两种情况：（1）当 L  x 时，行李一直匀加速运动，加速度由摩擦力提供；（2）当 L �x 时，物体先加速，后与传送带一起匀速运动。 3．当物体的初速度不为零时，与传送带从相反方向运动（如下图所示，传送带向左，物体向右运动） （1）当传送带的长度 到最右端，； L v2 v2 2 g （ 2  g 是假设减速为零的位移），滑块所受的摩擦力向左，且一直减速 v2 L� 2 g ，且 v  v0 ，滑块先向右减速，再向左加速，到达最左端时的速度仍为 v ， （2）当传送带的长度 方向向左（相当于向右运动的逆过程）。 v2 L� 2 g ，且 v  v0 ，滑块先向右减速，再向左加速，当加速到与传送带相同的速 （3）当传送带的长度 度时，与传送带共速，一起向左运动，速度为 v0 。 三． 倾斜传送带问题 1．当滑块的初速度为零时的情形（ v  0 ），并且滑块在倾斜传送带的低端时： v02 2(  g cos   g sin  ) ，滑块一直向上加速（滑动摩擦力的大小为 f   mg cos  ）。 （1）当 v02 L� 2(  g cos   g sin  ) ，滑块向上先加速（滑动摩擦力的大小为 f   mg cos  ），当速度等于 （2）当 L 传送带的速度时，与传送带共速，向上运动（静摩擦力的大小为 f  mg sin  ）。 2．当滑块的初速度为零时的情形（ v  0 ），并且滑块在倾斜传送带的顶端时： v02 2(  g cos   g sin  ) ，滑块一直向下加速（滑动摩擦力的大小为 f   mg cos  ，斜向下）。 （1）当 v02 L� 2(  g cos   g sin  ) ，首先滑块加速运动，加速度大小为： a  g sin    g cos  ，当滑块的速 （2）当 L 度与传送带的速度相同时，之后滑块的运动也分为两种情况，当 mg sin    mg cos 时，滑块继续向下加速运 动，加速度大小为： a  g sin    g cos  ；而当 mg sin  � mg cos  时，滑块与传送带共速，一起斜向下运动， 此时，滑块只受静摩擦力。 3．当滑块的初速度不为零时的情形（ v �0 ），并且与传送带以相同方向运动时： （1）当 v  v0 ，滑块先加速，当加速到与传送带的速度相同时，之后的运动分为两种情况，一种情况， 与传送带相对静止运动，另一种情况，则是继续加速。 （2）当 v �v0 ，且当 mg sin    mg cos ，滑块一直加速；而当 mg sin  � mg cos  ，滑块先减速，减到 与传送带相同的速度时，再与传送带共速运动。 4．当滑块的初速度不为零时的情形（ v �0 ），并且与传送带以相反方向运动时： （1）当 mg sin    mg cos ，滑块加速向下运动； （2）当 mg sin  � mg cos  ，且当传送带足够长时，滑块先减速运动，当速度为零时，再向上加速运动。 5．总结 讨论在斜面方向上的传送带问题中物块的受力时，不仅要判断物体与传送带之间是否有相对运动，同时需要 判断，当物体与传送带共速，是否有向下运动的趋势，也就是需要判断重力沿斜面的分力与最大静摩擦力的大小 关系。即若重力的下滑分力大于物体和传送带之间的最大静摩擦力，此时有   tan  ，则物体将向下加速，所受 摩擦力为沿斜面向上的滑动摩擦力；若重力的下滑分力小于或等于物体和传送带之间的最大静摩擦力，此时有  �tan  ，则物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动，所受静摩擦力沿斜面向上，大小等于重力的下滑分力 。 另外，也可能出现的情况是传送带比较短，物体还没有加速到与传送带共速时就已滑到了底端。 注意，本节内容中的例题涉及了曲线运动、动能定理、和动量守恒的内容。 三点剖析 一．考点与难度系数 1．理解传送带问题★★ 2．学会运用牛顿运动定律解决传送带问题和其它实际问题。 二．易错点和重难点 传送带是应用广泛的一种传动装置，它既能训练学生的科学思维，又能联系科学、生产和生活实际，是很好的能力 考查型试题，是历年高考考查的热点。 在水平方向的传送带问题中物块的受力主要讨论滑动摩擦力，当存在相对运动时就会存在滑动摩擦力，因此分析问 题时以滑块是否与传送带共速为临界进行分析。 在斜面方向上的传送带问题中物块的受力就要复杂些，不仅要判断物体与传送带之间是否有相对运动，同时 需要判断，当物体与传送带共速，是否有向下运动的趋势，也就是需要判断重力沿斜面的分力与最大静摩擦力的 大小关系。 水平传送带问题 例题 1、 一水平传送带以 2.0m/s 的速度顺时针传动，水平部分长为 2.0m．，其右端与一倾角为 θ=37°的光滑斜面 平滑相连，斜面长为 0.4m，一个可视为质点的物块无初速度地放在传送带最左端，已知物块与传送带间动摩擦因 数 μ=0.2，试问： （1）物块到达传送带右端的速度． （2）物块能否到达斜面顶端？若能则说明理由，若不能则求出物块上升的最大高度．（sin37°=0.6，g 取 l0m/s2） 例题 2、[多选题] 如图所示，一质量为 m 的物体被水平细线拴住放在粗糙的水平传送带上，物体距传送带右端的 距离为 L．当绷紧的传送带分别以 v1、v2 的速度顺时针转动时（v1＜v2），剪断细线，物体到达右端的时间分别为 t1、t2，获得的动能分别为 E1、E2，则下列判读可能正确的是（ ） A.E1＞E2，tl=t2 B.E1=E2，tl=t2 C.E2＞E1，t1＞t2 D.E2＞E1，tl＜t2 例题 3、[多选题] 如图为测定运动员体能的装置，轻绳拴在腰间沿水平线跨过定滑轮（不计滑轮的质量与摩擦） ， 下悬重为 G 的物体．设人的重心相对地面不动，人用力向后蹬传送带，使水平传送带以速率 v 逆时针转动．则（ ） A.人对重物做功，功率为 Gv B.人对传送带的摩擦力大小等于 G，方向水平向左 C.在时间 t 内人对传送带做功消耗的能量为 Gvt D.若增大传送带的速度，人对传送带做功的功率不变 例题 4、 如图所示，一水平传送带的左端与内径光滑的四分之三圆弧钢管相切，圆弧钢管的半径 R=0.9m，内径 远小于 R，长度 L=60m 的传送带 MN 以大小 v=10m/s 的恒定速度向左运行，将质量 m=1.8kg 的滑块无初速度地放 在传送带的右端 N．滑块可视为质点，其与传送带间的动摩擦因数 μ=0.1，取 g=10m/s2，不考虑滑块从 P 点落回传 送带后的运动，求： （1）滑块从传送带右端 N 运动到左端 M 所需要的时间 t； （2）滑块离开钢管时的速度大小 vp（结果可保留根号）； （3）滑块滑到轨道最高点 T 时对轨道弹力的大小 FN． 例题 5、 一质量为 M=1.99kg 的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一个以初速度 v0 水平向左飞来的子弹 击中，设子弹的质量 m=0.01kg，子弹射中木块并留在物块中（子弹与木块相对运动的时间极短），如图所示，地 面观察着记录了小物块被击中后的速度随时间的变化关系，如图所示（图中取向右运动的方向为正方向），已知 传送带的速度保持不变，求： （1）物块与传送带间的动摩擦系数； （2）子弹的初速度 v0 的大小； （3）计算因物块与传送带相对滑动过程的摩擦生热 Q． 随练 1、 如图所示水平传送带 A、B 两端点相距 x=4m，以 v0=2m/s 的速度（始终保持不变）顺时针运转．今将一 小煤块（可视为质点）无初速度地轻放至 A 点处，已知小煤块与传送带间的动摩擦因数为 0.4，g 取 10m/s2．由于 小煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕．则小煤块从 A 运动到 B 的过程中（ ） A.所用的时间是 2 s C.划痕长度是 4m B.所用的时间是 0.5s D.划痕长度是 0.5m 倾斜传送带问题 例题 1、[多选题] 如图所示，倾斜传送带沿逆时针方向匀速转动，在传送带的 A 端无初速度放置一物块．选择 B 端所在的水平面为重力势能的零参考平面，物块从 A 端运动到 B 端的过程中，下面四幅图象能正确反映其机械能 E 与位移 x 关系的是（ ） A. B. C. D. 例题 2、 如图所示，与水平面夹角为   30�的倾斜传送带始终绷紧，传送