2019 年湖南省娄底市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分，每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3 分）2019 的相反数是（　　） A．﹣2019 B．2019 C． D．﹣ C．a2•a3＝a6 D．4x2﹣2x＝2x 2．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．（﹣2）3＝8 B．（a2）3＝a6 3．（3 分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4．（3 分）一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1 5．（3 分）2018 年 8 月 31 日，华为正式发布了全新一代自研手机 SoC 麒麟 980，这款号称 六项全球第一的芯片，随着华为 Mate20 系列、荣耀 Magic2 相继搭载上市，它的强劲性 能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、 更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟 980 是全球首颗 7nm（1nm＝10﹣ 9 m）手机芯片．7nm 用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣8m B．7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣10m 6．（3 分）下列命题是假命题的是（　　） A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．n 边形（n≥3）的内角和是 180°n﹣360° D．旋转不改变图形的形状和大小 7．（3 分）如图，⊙O 的半径为 2，双曲线的解析式分别为 y＝ 面积是（　　） ，则阴影部分的 A．4π B．3π 8．（3 分）如图，边长为 2 A．1 C．2π D．π 的等边△ABC 的内切圆的半径为（　　） B． C．2 D．2 9．（3 分）将 y＝ 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得图象如 图，则所得图象的解析式为（　　） A．y＝ +1 B．y＝ ﹣1 C．y＝ +1 D．y＝ ﹣1 10 ． （ 3 分 ） 如 图 ， 直 线 y ＝ x+b 和 y ＝ kx+2 与 x 轴 分 别 交 于 点 A （ ﹣ 2 ， 0 ） ， 点 B（3，0），则 解集为（　　） A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2 或 x＞3 D．﹣2＜x＜3 11．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） ①abc＜0 ②b2﹣4ac＜0 ③2a＞b ④（a+c）2＜b2 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．（3 分）如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角 为 120°的 多次复制并首尾连接而成．现有一点 P 从 A（A 为坐标原点）出发，以每秒 π 米的速度沿曲线向右运动，则在第 2019 秒时点 P 的纵坐标为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．（3 分）函数 的自变量 x 的取值范围是　 　． 14．（3 分）如图，随机闭合开关 S1，S2，S3 中的两个，能让灯泡发光的概率是　 　． 15．（3 分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2 的度数为　 　． 16．（3 分）如图，C、D 两点在以 AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则 AD＝ ． 17．（3 分）已知方程 x2+bx+3＝0 的一根为 + ，则方程的另一根为　 　． 18．（3 分）已知点 P（x0，y0）到直线 y＝kx+b 的距离可表示为 d＝ 点（0，1）到直线 y＝2x+6 的距离 d＝ ＝ ，例如： ．据此进一步可得两条平行线 y＝x 和 y＝x﹣4 之间的距离为　 　． 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） 19．（6 分）计算：（ ﹣1）0﹣（ ）﹣1+|﹣ 20．（6 分）先化简，再求值： |﹣2sin60° ÷（ ﹣ ）．其中 a＝ ﹣1，b＝ +1． 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 21．（8 分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从 2018 年秋季入学的 高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期 盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关 注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图 表： 关注程度 频数 频率 A．高度关注 m 0.4 B．一般关注 100 0.5 C．没有关注 20 n （1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为　 　，m＝　 　，n＝　 　． （2）根据以上信息补全图中的条形统计图． （3）请估计在该小区 1500 名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？ 22．（8 分）如图，某建筑物 CD 高 96 米，它的前面有一座小山，其斜坡 AB 的坡度为 i＝ 1：1．为了测量山顶 A 的高度，在建筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底 B 的俯角分别为 α、β．已知 tanα＝2，tanβ＝4，求山顶 A 的高度 AE（C、B、E 在同一水平面上）． 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 23．（9 分）某商场用 14500 元购进甲、乙两种矿泉水共 500 箱，矿泉水的成本价与销售价 如表（二）所示： 类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 25 35 乙 35 48 求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ （2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利多少元？ 24．（9 分）如图，点 D 在以 AB 为直径的⊙O 上，AD 平分∠BAC，DC⊥AC，过点 B 作 ⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 E． （1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线． （2）求证：CD•BE＝AD•DE． 六、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 25．（10 分）如图，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA（不包括 端点）上运动，且满足 AE＝CG，AH＝CF． （1）求证：△AEH≌△CGF； （2）试判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由． （3）请探究四边形 EFGH 的周长一半与矩形 ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明 理由． 26．（10 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，且过点 D（2，﹣3）．点 P、Q 是抛物线 y＝ax2+bx+c 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求△POD 面积的最大值． （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的坐标．