2016 年四川省达州市中考数学试卷 一、（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求） 1．（3 分）下列各数中最小的是（　　） A．0 B．﹣3 C．﹣ D．1 2．（3 分）在“十二•五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由 819 亿元增加 到 1351 亿元，年均增长约 10%，将 1351 亿元用科学记数法表示应为（　　） A．1.351×1011 B．13.51×1012 C．1.351×1013 D．0.1351×1012 3．（3 分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标 的字是（　　） A．遇 B．见 4．（3 分）不等式组 C．未 D．来 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3 分）下列说法中不正确的是（　　） A．函数 y＝2x 的图象经过原点 B．函数 y＝ 的图象位于第一、三象限 第 1 页（共 29 页） C．函数 y＝3x﹣1 的图象不经过第二象限 D．函数 y＝﹣ 的值随 x 的值的增大而增大 6．（3 分）如图，在 5×5 的正方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D 中任取三点，所 构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（　　） A． B． C． D． 7．（3 分）如图，半径为 3 的⊙A 经过原点 O 和点 C（0，2），B 是 y 轴左侧⊙A 优弧上一 点，则 tan∠OBC 为（　　） A． B．2 C． D． 8．（3 分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一次操作； 然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称 为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小 三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到 100 个小三角形，则需要操作的 次数是（　　） A．25 B．33 C．34 D．50 9．（3 分）如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E．若 AB＝10，BC＝16，则线段 EF 的长为（　　） 第 2 页（共 29 页） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（3 分）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0）， 与 y 轴的交点 B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x＝ 1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④ ＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（　　） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，把最后答案直接填在题中的横线 上） 11．（3 分）分解因式：a3﹣4a＝　 　． 12．（3 分）如图，AB∥CD，AE 交 CD 于点 C，DE⊥AE 于点 E，若∠A＝42°，则∠D＝ ． 第 3 页（共 29 页） 13．（3 分）已知一组数据 0，1，2，2，x，3 的平均数是 2，则这组数据的方差是　 　． 14．（3 分）设 m，n 分别为一元二次方程 x2+2x﹣2018 ＝0 的两个实数根，则 m2+3m+n＝ ． 15．（3 分）如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线 段 AQ，连接 BQ．若 PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形 APBQ 的面积为　 　． 16 ． （ 3 分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 矩 形 ABCD 的 边 AB ： BC ＝ 3 ： 2 ， 点 A（3，0），B（0，6）分别在 x 轴，y 轴上，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过点 D，且与边 BC 交于点 E，则点 E 的坐标为　 　． 三、解答题（72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本 题 2 个小题，共 12 分） 17．（6 分）计算： ﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°． ，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y） 18．（6 分）已知 x，y 满足方程组 的值． （二）、本题 2 个小题，共 14 分． 19．（7 分）达州市图书馆今年 4 月 23 日开放以来，受到市民的广泛关注.5 月底，八年级 （1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了 如图不完整的统计图表． 八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表 第 4 页（共 29 页） 去图书馆的次数 0次 1次 2次 3次 4 次及以上 人数 8 12 a 10 4 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）求扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求 恰好抽中去过“4 次及以上”的同学的概率． 20．（7 分）如图，在▱ABCD 中，已知 AD＞AB． （1）实践与操作：作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AF＝AB，连接 EF； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想并证明：猜想四边形 ABEF 的形状，并给予证明． （三）、本题 2 个小题，共 16 分． 21．（8 分）如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN 和灯塔 C， 灯塔 C 距码头的东端 N 有 20km．一轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在 A 处测得 灯塔 C 位于轮船的北偏西 30°方向，上午 10：40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60°方向，且与灯塔 C 相距 12km． （1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？ （2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7） 第 5 页（共 29 页） 22．（8 分）如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接 AC，BC，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E，连接 BD 并延长交 AE 于点 F． （1）求证：AE•BC＝AD•AB； （2）若半圆 O 的直径为 10，sin∠BAC＝ ，求 AF 的长． （四）、本题 2 个小题，共 19 分 23．（9 分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 a 270 500 元 餐椅 a﹣110 70 已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同． （1）求表中 a 的值； （2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不 超过 200 张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其 余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了 10 元，按照（2）中获得 最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际 全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了 2250 元．请问本次成套的销售量为多 少？ 24．（10 分）△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 第 6 页（共 29 页） B，C 重合），以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF． （1）观察猜想 如图 1，当点 D 在线段 BC 上时， ①BC 与 CF 的位置关系为：　 　． ②BC，CD，CF 之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予 证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图 3，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE．若已知 AB ＝2 ，CD＝ BC，请求出 GE 的长． （五）、本题 11 分 25．（11 分）如图，已知抛物线 y＝ax2+2x+6（a≠0）交 x 轴与 A，B 两点（点 A 在点 B 左 侧），将直尺 WXYZ 与 x 轴负方向成 45°放置，边 WZ 经过抛物线上的点 C（4，m）， 与抛物线的另一交点为点 D，直尺被 x 轴截得的线段 EF＝2，且△CEF 的面积为 6． （1）求该抛物线的解析式； （2）探究：在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使得△ACP 的面积最大？若存 在，请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将直尺以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向左平移，设平移的时间为 t 秒，平移后的直 尺为 W′X′Y′Z′，其中边 X′Y′所在的直线与 x 轴交于点 M，与抛物线的其中一个交点为点 N，请直接写出当 t 为何值时，可使得以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 第 7 页（共 29 页） 第 8 页（共 29 页） 2016 年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求） 1．【分析】根据正数都大于 0，负数都小于 0，两个负数绝对值大的反而小即可解答． 【解答】解：因为在 A、B、C、D 四个选项中只有 B、C 为负数，故应从 B、C 中选择； 又因为|﹣3|＞|﹣ 所以﹣3＜﹣ |， ， 故选：B． 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数比较大小的方法： （1）正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数； （2）两个负数绝对值大的反而小． 2．【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值是易错点，由于 1351 亿有 12 位，所以可以确定 n＝12﹣1＝11． 【解答】解：1351 亿＝135 100 000 000＝1.351×1011． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 3．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一