2011 年湖南省怀化市中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正 确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（3 分）49 的平方根为（　　） A．7 B．﹣7 C．±7 D．± 2．（3 分）如图所示，∠A，∠1，∠2 的大小关系是（　　） A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 C．a3+a3＝a6 D．（a3）2＝a6 3．（3 分）下列运算正确的是（　　） A．a•a3＝a3 B．（ab）3＝ab3 4．（3 分）如图，已知直线 a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°．则∠3 等于（　　） A．100° B．60° C．40° D．20° 5．（3 分）函数 y＝2x 与函数 y＝﹣ 在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． 第 1 页（共 16 页） C． D． 6．（3 分）如图所示：△ABC 中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．则 CE 的值为（ ） A．9 B．6 C．3 D．4 7．（3 分）在平面直角坐标系中，把直线 y＝x 向左平移一个单位长度后，其直线解析式为 （　　） A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝x D．y＝x﹣2 8．（3 分）如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使 “帅”位于点（﹣1，﹣2）．“馬”位于 点（2，﹣2），则“兵”位于点（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣3，1） D．（1，﹣2） 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分：请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 9．（3 分）因式分解：a2﹣9＝　 　． 10．（3 分）如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，则∠B＝ ． 第 2 页（共 16 页） 11．（3 分）定义新运算：对任意实数 a、b，都有 a⊗b＝a2﹣b．例如 3⊗2＝32﹣2＝7，那 么 2⊗1＝　 　． 12．（3 分）一次函数 y＝﹣2x+3 中，y 的值随 x 值增大而　 　．（填“增大”或“减小”） 13．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC 的角平分线交 BC 边于点 D，AB＝ 5，BC＝6，则 AD＝　 　． 14．（3 分）在一次爱心捐款中，某班有 40 名学生拿出自己的零花钱，有捐 5 元、10 元、 20 元、50 元 的．右图反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款 元． 15．（3 分）方程 的解是　 　． 16．（3 分）出售某种手工艺品，若每个获利 x 元，一天可售出（8﹣x）个，则当 x＝ 元，一天出售该种手工艺品的总利润 y 最大． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（6 分）计算：|﹣2|+ ﹣（﹣5）﹣ 18．（6 分）解方程组： ． 19．（10 分）已知不等式组： ． ． （1）求满足此不等式组的所有整数解； （2）从此不等式的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是多少？ 20．（10 分）某中学为庆祝建党 90 周年举行唱“红歌”比赛，已知 10 位评委给某班的打分 第 3 页（共 16 页） 是：8，9，6，8，9，10，6，8，9，7． （1）求这组数据的极差： （2）求这组数据的众数； （3）比赛规定：去掉一个最髙分和一个最低分，剩下分数的平均数作为该班的最后得 分．求该班的最后得分． 21．（10 分）如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片． AD 是边 BC 上的高，BC＝ 40cm，AD＝30cm．从这张硬纸片剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH．使它的 一边 EF 在 BC 上，顶点 G，H 分别在 AC，AB 上．AD 与 HG 的交点为 M． （1）求证： ； （2）求这个矩形 EFGH 的周长． 22．（10 分）已知：关于 x 的方程 ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1＝0． （1）当 a 取何值时，二次函数 y＝ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1 的对称轴是 x＝﹣2； （2）求证：a 取任何实数时，方程 ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1＝0 总有实数根． 23．（10 分）如图，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB⊥CD 于 E，OF⊥AC 于 F，BE＝ OF． （1）求证：OF∥BC； （2）求证：△AFO≌△CEB； （3）若 EB＝5cm，CD＝10 cm，设 OE＝x，求 x 值及阴影部分的面积． 第 4 页（共 16 页） 24．（10 分）在矩形 AOBC 中，OB＝6，OA＝4，分別以 OB，OA 所在直线为 x 轴和 y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系．F 是 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合），过 F 点的 反比例函数 y＝ （k＞0）的图象与 AC 边交于点 E． （1）求证：AE•AO＝BF•BO； （2）若点 E 的坐标为（2，4），求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式； （3）是否存在这样的点 F，使得将△CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在， 求出此时的 OF 的长；若不存在，请说明理由． 第 5 页（共 16 页） 2011 年湖南省怀化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正 确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．【分析】首先根据平方根的定义，根据平方根的定义得出±7 的平方等于 49，然后就可 以解决问题． 【解答】解：∵±7 的平方等于 49， ∴49 的平方根为±7． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平方根的定义和性质，根据平方的方法求这个数的平方根．注 意一个正数的平方根有两个． 2．【分析】先根据∠1 是△ACD 的外角，故∠1＞∠A，再根据∠2 是△CDE 的外角，故∠2 ＞∠1，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠1 是△ACD 的外角， ∴∠1＞∠A； ∵∠2 是△CDE 的外角， ∴∠2＞∠1， ∴∠2＞∠1＞∠A． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角 的和． 3．【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项 的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为 a•a3＝a1+3＝a4，故本选项错误； B、应为（ab）3＝a3b3，故本选项错误； C、应为 a3+a3＝2a3，故本选项错误； D、（a3）2＝a6，故本选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指 第 6 页（共 16 页） 数的变化是解题的关键． 4．【分析】首先过点 C 作 CD∥a，由 a∥b，即可得 CD∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等， 即可求得∠3 的度数． 【解答】解：过点 C 作 CD∥a， ∵a∥b， ∴CD∥a∥b， ∴∠ACD＝∠1＝40°，∠BCD＝∠2＝60°， ∴∠3＝∠ACD+∠BCD＝100°． 故选：A． 【点评】此题考查了平行线的性质．解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想 的应用． 5．【分析】根据函数 y＝2x 与函数 y＝﹣ 分别确定图象即可得出答案． 【解答】解：∵y＝2x，2＞0， ∴图象经过一、三象限， ∵函数 y＝﹣ 中系数小于 0， ∴图象在二、四象限． 故选：B． 【点评】此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次 函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 6．【分析】由 DE∥BC，用平行线分线段成比例定理即可得到 ＝10，AE＝3，代入即可求得答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴ ， ∵AD＝5，BD＝10，AE＝3， 第 7 页（共 16 页） ，又由 AD＝5，BD ∴ ， ∴CE＝6． 故选：B． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用． 7．【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，在平面直角坐标系中，把直线 y＝x 向左平移一 个单位长度后， 其直线解析式为 y＝x+1． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此 题的关键． 8．【分析】根据“帅”位于点（﹣1，﹣2）．“馬”位于点（2，﹣2），得出原点的位置即可 得出答案． 【解答】解：∵在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2）．“馬”位于点 （2，﹣2）， ∴可得出原点位置在棋子炮的位置， ∴“兵”位于点：（﹣3，1）， 故选：C． 【点评】此题主要考查了直角坐标系的建立以及点的坐标确定，此类题型是个重点也是 难点，需要掌握确定原点的方法是解决问题的关键． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分：请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 9．【分析】a2﹣9 可以写成 a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）． 【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 10．【分析】先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由全等三角形的性质可知∠C＝ ∠C′，再由三角形内角和定理可得出∠B 的度数． 【解答】解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝60°， ∵∠A＝30°， 第 8 页（共 16 页） ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°． 故答案为：90°． 【点评】本题考查的是轴对称的性质及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的 关键． 11．【分析】根据公式 a⊗b＝a2﹣b 求 2⊗1 的值，也相当于 a＝2，b＝1 时，代入 a2﹣b 求 值． 【解答】解：根据公式 a⊗b＝a2﹣b 得： 2⊗1＝22﹣1＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是看懂 a⊗b＝a2﹣b 的运算方法． 12．【分析】先判断出一次函数 y＝﹣2x+3 中 k 的符号，再根据一次函数的增减性进行解 答即可． 【解答】解：∵一次函数 y＝﹣2x+3 中 k＝﹣2＜0， ∴y 的值随 x 值增大而减小． 故答案为：减小． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数 y＝kx+b（k≠0）中，当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大．当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小． 13．【分析】首先根据等腰三