广东省深圳市 2021 年中考数学真题试卷 一、选择题（每题 3 分，共 30 分）（共 10 题；共 30 分） 1.如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上 的字是（ ） A. 跟 B. 百 C. 走 D .年 2. 的相反数（ ） A. 2021 C. －2021 B. D. 的解集在数轴上表示为（ 3.不等式 ） A. B. C. D. 4.《你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位 数是（ ） A. 124 B. 120 . 109 5.下列运算中，正确的是（ ） C. 118 D A. B. C. D . 的值为（ 6.计算 A. ） B. 0 C. D . 7.《九章算术》中有问题：1 亩好田是 300 元，7 亩坏田是 500 元，一人买了好田坏田一 共是 100 亩，花费了 10000 元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为 x 元，一亩 坏田为 y 元，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 8.如图，在点 F 处，看建筑物顶端 D 的仰角为 32°，向前走了 15 米到达点 E 即 米，在点 E 处看点 D 的仰角为 64°，则 A. B. C. 的图象与一次函数 9.二次函数 图象可能是（ 的长用三角函数表示为（ ） ） D. 在同一平面直角坐标系中的 A. B. C. D. 中， 10.在矩形 得 ，点 E 是 ，过点 F 作 ，下列正确的是（ ① A. 4 ； ② ，分别交 边的中点，连接 、 ，延长 于 N、G 两点，连接 ； ③ B. 3 ； ④ ． C. 2 二、填空题（每题 3 分，共 15 分）（共 5 题；共 15 分） 12.已知方程 、 ） D. 1 11.因式分解： 至点 F ， 使 ________． 的一个根是 1，则 m 的值为________． 、 ， 13.如图，已知 于点 F ， 作 ，则 是角平分线且 ，作 周长为________． 14.如图，已知反比例函数过 A ， B 两点，A 点坐标 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 15.如图，在 ，连接 的长为________. ， ，直线 经过原点，将线段 ，则 C 点坐标为________． 中，D ， E 分别为 ， 的垂直平分线交 ， ，若 上的点，将 ， 沿 ， 折叠，得到 ，则 三、解答题（共 55 分）（共 7 题；共 53 分） ，其中 16.先化简再求值： ． 17.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位． （1）过直线 m 作四边形 （2）求四边形 的对称图形； 的面积． 18.随机调查某城市 30 天空气质量指数（ 空气质量指数 空气质量等级 （1） （ ） 频数 优 m 良 15 中 9 差 n ________， ________； ），绘制成如下扇形统计图． （2）求良的占比； （3）求差的圆心角； （4）折线图是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一 年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有 9 天． 根据折线统计图，一个月（30 天）中有________天 AQI 为中，估测该城市一年（以 365 天计）中大约有________天 为 19.如图， （1）求证： （2）若 为中． 的弦，D ， C 为 的三等分点， ． ； ， ，求 的长． 20.某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为 8 万元，销售单价 x（万元）与销售量 y（件）的关系如下表所示： x（万 1 1 1 1 元） 0 2 4 6 y（件） 4 3 2 1 0 0 0 0 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？ 21.探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的 2 倍、 倍、k 倍． （1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为 2 的正方形 的 2 倍？________（填“存在”或“不存在”）． （2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为 3，宽为 2 的矩形的 2 倍？ 同学们有以下思路： ① 设新矩形长和宽为 x、y ， 则依题意 联立 得 ， ， ，再探究根的情况： 根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍； ② 如图也可用反比例函数与一次函数证明 ，那么， ： ， ： a ． 是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的 2 倍？ b ． 请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达； c ． 请直接写出当结论成立时 k 的取值范围：． 22.在正方形 接 、 、 中，等腰直角 ， ，发现 为定值. 和 ，连接 ，H 为 中点，连 （1）① ② ▲ ； ▲ . ③ 小明为了证明①②，连接 交 于 O ， 连接 ，证明了 和 的关系，请你 按他的思路证明①②. （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图 2， （ 求① ② ） ________（用 k 的代数式表示） ________（用 k、 的代数式表示） ， 答案解析部分 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1.【答案】 B 【考点】几何体的展开图 【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方 形，“建”与“百”是相对面，“党”与“年”是相对面，“跟”与“走”是相对面， 故答案为：B. 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点进行解 答，即可得出答案. 2.【答案】 B 【考点】相反数及有理数的相反数 【解析】【解答】解：- 的相反数是 . 故答案为：B. 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得出答案. 3.【答案】 D 【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集 【解析】【解答】解：x-1＞2， ∴x＞3， 在数轴上表示为 ： 故答案为：D. 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出答案. 4.【答案】 B 【考点】中位数 【解析】【解答】解：从小到大排列：109，118，120，124，133， ∴ 这组数据的中位数是 120. 故答案为：B. 【分析】中位数是将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则 处于最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的 平均数是这组数据的中位数，据此即可得出答案. 5.【答案】 A 【考点】同底数幂的除法，单项式乘单项式，合并同类项法则及应用，幂的乘方 【解析】【解答】解：A、2a2·a=2a3 ， 故 A 正确； B、（a2）3=a6 ， 故 B 错误； C、a2 和 a3 不是同类项，不能合并，故 C 错误； D、a6÷a2=a4 ， 故 D 错误. 故答案为：A. 【分析】根据单项式乘以单项式的法则、幂的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除 法法则，逐项进行判断，即可得出答案. 6.【答案】 C 【考点】特殊角的三角函数值，实数的绝对值 【解析】【解答】解： . 故答案为：C. 【分析】把 代入，再根据绝对值的意义进行计算，即可得出答案. 7.【答案】 B 【考点】二元一次方程组的其他应用 【解析】【解答】解： 设一亩好田为 x 元，一亩坏田为 y 元， 根据题意得： . 故答案为：B. 【分析】设一亩好田为 x 元，一亩坏田为 y 元，根据题意找出等量关系，列出方程组即 可. 8.【答案】 C 【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：∵∠F=32°，∠DEC=64°， ∴∠EDF=∠DEC-∠F=64°-32°=32°=∠F， ∴DE=EF=15， 在 Rt△DCE 中， ∴CD= ， . 故答案为：C. 【分析】根据三角形的外角性质求出∠EDF=32°=∠F，得出 DE=EF=15，再根据锐角 三角函数的定义得出 ， 即可得出答案. 9.【答案】 A 【考点】二次函数与一次函数的综合应用 【解析】【解答】解：∵二次函数 y=ax2+bx+1 的对称轴为直线 x=- y=2ax+b 与 x 轴的交点坐标为（- ， 一次函数 ， 0）， ∴抛物线的对称轴与直线的交点为（- ， 0）， 故 A 符合题意. 故答案为：A. 【分析】求出抛物线的对称轴为直线 x=- 得出抛物线的对称轴与直线的交点为（- ， 直线与 x 轴的交点坐标为（- ， 0）， ， 0），逐项进行判断，即可得出答案. 10.【答案】 B 【考点】三角形全等的判定，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角 三角函数的定义 【解析】【解答】 故答案为：① ，①正确； ， ②∵ ∴ ， ∵ ， （ ∴ （ ∴ ∵在 ， ），∴ ，故②正确； ， 中： ， ∵ ∴ 故选 B． ， ， 又∵ ④ 由上述可知： ， ），∴ ，∴ ∴ ， ），∴ （ ∵ ， ， 和 ∴ ， ，∴ ，∴ ∴ ∵ ， ， ∵ ③∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ， ， ，故③错误； ， ，∴ ，∴ ， ， ，故④正确． 【分析】①先证出∠GFB=∠EDC，得出 ， 即可判断①正 确； ② 先证出△DEC≌△FEM，得出 EM=EC，从而得出 DM=FC，进而证出△DMN≌△FCN， 得出 MN=NC，即可判断②正确； ③ 先证出 MC∥GE，得出 ， 再求出 EF，CF 的长，得出 ， 即可判断③错误； ④ 先求出 BF 的长，根据 ， 求出 GB 的长，利用 ， 即可判断④正确. 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11.【答案】 7（a+2）（a-2） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【解析】【解答】解：7a2-28=7（a2-4）=7（a+2）（a-2）. 【分析】先提公因式 7，再根据平方差公式分解因式，即可得出答案. 12.【答案】 2 【考点】二元一次方程的解 【解析】【解答】将 代入得： ，解得 【分析】根据一元二次方程根的定义把 x=1 代入