2020 年湖南省郴州市中考数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1． （3 分） （2020•郴州）如图表示互为相反数的两个点是 ( A．点 A 与点 B B．点 A 与点 D ) C．点 C 与点 B D．点 C 与点 D 2． （3 分） （2020•郴州）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发 射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达 10 纳秒 (1 秒 ．用科学记数法表示 10 纳秒为 ( = 1000000000 纳秒） A． 1 × 10−8 秒 B． 1 × 10−9 秒 ) C． 10 × 10−9 秒 3． （3 分） （2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是 ( A． B． C． D． 4． （3 分） （2020•郴州）下列运算正确的是 ( A． (−a) 4 = a4 B． a 2 a 3 = a 6 D． 0.1 × 10−9 秒 ) ) C． 8 − 2 = 6 D． 2a 3 + 3a 2 = 5a 5 5． （3 分） （2020•郴州）如图，直线 a ， b 被直线 c ， d 所截．下列条件能判定 a / / b 的是 ( ) A． ∠1 =∠3 B． ∠2 + ∠= 4 180° C． ∠4 =∠5 第1页（共36页） D． ∠1 =∠2 6． （3 分） （2020•郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码 (cm) 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售数量（双 ) 2 7 18 10 8 3 则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是 ( A．中位数 B．平均数 C．众数 ) D．方差 7． （3 分） （2020•郴州）如图 1，将边长为 x 的大正方形剪去一个边长为 1 的小正方形（阴 影部分） ，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 2 所示长 方形．这两个图能解释下列哪个等式 ( ) A． x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1)2 B． x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) C． x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)2 D． x 2 − x= x( x − 1) 8． （3 分） （2020•郴州）在平面直角坐标系中，点 A 是双曲线 y1 = 接 AO ，过点 O 作 AO 的垂线与双曲线 y2 = 则 k1 =( k2 A．4 k1 ( x > 0) 上任意一点，连 x k2 AO = 2， ( x < 0) 交于点 B ，连接 AB ，已知 BO x ) B． −4 C．2 第2页（共36页） D． −2 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9． （3 分） （2020•郴州）若分式 1 的值不存在，则 x = x +1 ． 10． （3 分） （2020•郴州）已知关于 x 的一元二次方程 2 x 2 − 5 x + c = 0 有两个相等的实数根， 则c = ． 11． （3 分） （2020•郴州）质检部门从 1000 件电子元件中随机抽取 100 件进行检测，其中有 2 件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 件次品． 12． （3 分） （2020•郴州）某 5 人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分 ) 分别为： 86，88，90，92，94，方差为 S 2 = 8.0 ，后来老师发现每人都少加了 2 分，每人补加 2 分后， 这 5 人新成绩的方差 S新2 = ． 13． （3 分） （2020•郴州）小红在练习仰卧起坐，本月 1 日至 4 日的成绩与日期具有如下关 系： 日期 x （日 ) 1 2 3 4 成绩 y （个 ) 40 43 46 49 小红的仰卧起坐成绩 y 与日期 x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 14． （3 分） （2020•郴州）在平面直角坐标系中，将 ∆AOB 以点 O 为位似中心， 作位似变换，得到△ A1OB1 ，已知 A(2,3) ，则点 A1 的坐标是 ． 2 为位似比 3 ． 15． （3 分） （2020•郴州）如图，圆锥的母线长为 10，侧面展开图的面积为 60π ，则圆锥主 视图的面积为 ． 第3页（共36页） 16． （3 分） （2020•郴州）如图，在矩形 ABCD 中， AD = 4 ， AB = 8 ．分别以点 B ， D 为圆 1 心，以大于 BD 的长为半径画弧，两弧相交于点 E 和 F ．作直线 EF 分别与 DC ，DB ， AB 2 交于点 M ， O ， N ，则 MN = ． 三、解答题（17～19 题每小题 6 分，20～23 题每小题 6 分，24～25 题每小题 6 分，26 题 12 分，共 82 分） 1 17． （6 分） （2020•郴州）计算： ( )−1 − 2 cos 45°+ |1 − 2 | −( 3 + 1)0 ． 3 x 4 18． （6 分） （2020•郴州）解方程： = 2 +1 ． x −1 x −1 19． （6 分） （2020•郴州）如图，在菱形 ABCD 中，将对角线 AC 分别向两端延长到点 E 和 F ， 使得 AE = CF ．连接 DE ， DF ， BE ， BF ． 求证：四边形 BEDF 是菱形． 第4页（共36页） 20． （8 分） （2020•郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过 电视、手机 APP 等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我 评价的调查（学习效果分为： A ．效果很好； B ．效果较好； C ．效果一般； D ．效果不 理想） ，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图： （1）此次调查中，共抽查了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中 ∠α 的度数； （3）某班 4 人学习小组，甲、乙 2 人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从 学习小组中随机抽取 2 人，则“1 人认为效果很好，1 人认为效果较好”的概率是多少？（要 求画树状图或列表求概率） 第5页（共36页） 21． （8 分） （2020•郴州）2020 年 5 月 5 日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火 箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面 O 处发射，当火箭到达点 A 时，地面 D 处的雷达 站测得 AD = 4000 米，仰角为 30° ．3 秒后，火箭直线上升到达点 B 处，此时地面 C 处的雷 达站测得 B 处的仰角为 45° ．已知 C ， D 两处相距 460 米，求火箭从 A 到 B 处的平均速度 （结果精确到 1 米 / 秒，参考数据： 3 ≈ 1.732 ， 2 ≈ 1.414) ． 第6页（共36页） 22． （8 分） （2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共 540 吨，甲物资单价为 3 万元 / 吨，乙物资单价为 2 万元 / 吨，采购两种物资共花费 1380 万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？ （2）现在计划安排 A ， B 两种不同规格的卡车共 50 辆来运输这批物资．甲物资 7 吨和乙 物资 3 吨可装满一辆 A 型卡车；甲物资 5 吨和乙物资 7 吨可装满一辆 B 型卡车．按此要求 安排 A ， B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？ 23． （8 分） （2020•郴州）如图， ∆ABC 内接于 O ， AB 是 O 的直径．直线 l 与 O 相切 于点 A ，在 l 上取一点 D 使得 DA = DC ，线段 DC ， AB 的延长线交于点 E ． （1）求证：直线 DC 是 O 的切线； （2）若 BC = 2 ， ∠CAB = 30° ，求图中阴影部分的面积（结果保留 π ) ． 第7页（共36页） 1 24． （10 分） （2020•郴州）为了探索函数 y = x + ( x > 0) 的图象与性质，我们参照学习函数 x 的过程与方法． 列表： x … 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 5 … y … 17 4 10 3 5 2 2 5 2 10 3 17 4 26 3 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描 出相应的点，如图 1 所示： （1）如图 1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点 (x1 ， y1 ) ， (x2 ， y2 ) 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若 0 < x1 < x21 ，则 y1 若 x1  x2 = 1 ，则 y1 y2 ；若 1 < x1 < x2 ，则 y1 y2 ； ，“ = ”或“ < ” ) ． y2 （填“ > ” （3）某农户要建造一个图 2 所示的长方体形无盖水池，其底面积为 1 平方米，深为 1 米．已 知底面造价为 1 千元 / 平方米，侧面造价为 0.5 千元 / 平方米．设水池底面一边的长为 x 米， 水池总造价为 y 千元． ①请写出 y 与 x 的函数关系式； ②若该农户预算不超过 3.5 千元，则水池底面一边的长 x 应控制在什么范围内？ 第8页（共36页） 25． （10 分） （2020•郴州）如图 1，在等腰直角三角形 ADC 中， ∠ADC = 90° ， AD = 4 ．点 E 是 AD 的中点，以 DE 为边作正方形 DEFG ，连接 AG ， CE ．将正方形 DEFG 绕点 D 顺 时针旋转，旋转角为 α (0° < α < 90°) ． （1）如图 2，在旋转过程中， ①判断 ∆AGD 与 ∆CED 是否全等，并说明理由； ②当 CE = CD 时， AG 与 EF 交于点 H ，求 GH 的长． （2）如图 3，延长 CE 交直线 AG 于点 P ． ①求证： AG ⊥ CP ； ②在旋转过程中，线段 PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说 明理由． 第9页（共36页） 26． （12 分） （2020•郴州）如图 1，抛物线 y = ax 2 + bx + 3(a ≠ 0) 与 x 轴交于 A(−1, 0) ，B(3, 0) ， 与 y 轴交于点 C ．已知直线 = y kx + n 过 B ，