2021 年湖南省怀化市中考数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正 确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4 分）数轴上表示数 5 的点和原点的距离是（　　） A． B．5 C．﹣5 D．﹣ 2．（4 分）到 2020 年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约 9980 万的贫困人口实现了脱 贫．将数据 9980 万用科学记数法表示是（　　） A．9.98×103 B．9.98×105 C．9.98×106 D．9.98×107 3．（4 分）以下说法错误的是（　　） A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是 360° C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补 4．（4 分）对于一元二次方程 2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　） A．没有实数根 B．两根之和是 3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根 5．（4 分）下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（　　） A． B． C． D． 6．（4 分）定义 a⊗b＝2a+ ，则方程 3⊗x＝4⊗2 的解为（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 7．（4 分）如图，在△ABC 中，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB、AC 于点 M、N；再分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P；连结 AP 并延长交 BC 于点 D．则下列说法正确的是（　　） A．AD+BD＜AB B．AD 一定经过△ABC 的重心 C．∠BAD＝∠CAD D．AD 一定经过△ABC 的外心 8．（4 分）不等式组 A． B． 的解集表示在数轴上正确的是（　　） C． D． 9．（4 分）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语： ①“水中捞月”， ②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．（4 分）如图，菱形 ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 AC、BD 交于原点 O，AE⊥BC 于 E 点，交 BD 于 M 点，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过线段 DC 的中点 N，若 BD＝4，则 ME 的长为（　　） A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝ 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．（4 分）比较大小： 　 　 （填写“＞”或“＜”或“＝”）． 12．（4 分）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是 　 　． 13．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣ 1，1），将△ABC 先向右平移 3 个单位长度得到△A1B1C1，再绕 C1 顺时针方向旋转 90° 得到△A2B2C1，则 A2 的坐标是 　 　． 14．（4 分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信， 学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员 5 天的学史的时间（单位： h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 　 　，众数是 　 　． 15．（4 分）如图，在⊙O 中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 　 　． （结果保留 π） 16．（4 分）观察等式：2+22 ＝23﹣2 ，2+22+23＝24﹣2 ，2+22+23+24 ＝25﹣2 ，…，已知按 一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若 2100＝m，用含 m 的代数式表示 这组数的和是 　 　． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 86 分） 17．（8 分）计算： 18．（8 分）先化简，再求值： ． ，其中 x＝ ． 19．（10 分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是 20 米， 大楼的底部 D 处与将要修的大桥 BC 位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶 A 处测得 B 和 C 的俯角∠EAB，∠EAC 分别为 67°和 22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥 BC 的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到 0.1 米）． 其中 sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ，sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ 20．（10 分）已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E、A、C、F 在同一直线上， AE＝CF． 求证：（1）△ADE≌△CBF； （2）ED∥BF． 21．（12 分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽 取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表． 等级 频数（人 频率 数） 优秀 60 0.6 良好 a 0.25 合格 10 b 基本合格 5 0.05 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）补全条形统计图； （3）该学校共有 1600 名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有 多少人？ （4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现 班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法 或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率． 22．（12 分）如图，在半径为 5cm 的⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是过⊙O 上一点 C 的直 线，且 AD⊥DC 于点 D，AC 平分∠BAD，E 是 BC 的中点，OE＝3cm． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求 AD 的长． 23．（12 分）某超市从厂家购进 A、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A 型水杯 B 型水杯 总费用 （个） （个） （元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 （1）求 A、B 两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大 B 型水杯的 销售量，超市决定对 B 型水杯进行降价销售，当销售价为 44 元时，每天可以售出 20 个， 每降价 1 元，每天将多售出 5 个，请问超市应将 B 型水杯降价多少元时，每天售出 B 型 水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ （3）第三次进货用 10000 元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个 A 型水杯可获利 10 元，售出一个 B 型水杯可获利 9 元，超市决定每售出一个 A 型水杯就为当地“新冠疫情 防控”捐 b 元用于购买防控物资．若 A、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后 所得的利润始终不变，此时 b 为多少？利润为多少？ 24．（14 分）如图所示，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA＝2，OB ＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 M，与 x 轴交于点 N． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是对称轴上的一个动点，是否存在以 P、C、M 为顶点的三角形与△MNB 相似？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）D 为 CO 的中点，一个动点 G 从 D 点出发，先到达 x 轴上的点 E，再走到抛物线对 称轴上的点 F，最后返回到点 C．要使动点 G 走过的路程最短，请找出点 E、F 的位置， 写出坐标，并求出最短路程． （4）点 Q 是抛物线上位于 x 轴上方的一点，点 R 在 x 轴上，是否存在以点 Q 为直角顶 点 的 等 腰 Rt△CQR ？ 若 存 在 ， 求 出 点 Q 的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ．