2020 年四川省自贡市中考数学试卷 一．选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1． （4 分） （2020•自贡）如图，直线 a / / b ， ∠1 = 50° ，则 ∠2 的度数为 ( B． 50° A． 40° C． 55° ) D． 60° 2． （4 分） （2020•自贡）5 月 22 日晚，中国自贡第 26 届国际恐龙灯会开启网络直播，有着 近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70 余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯” 的璀璨．人数 700000 用科学记数法表示为 ( A． 70 × 104 B． 0.7 × 107 ) C． 7 × 105 3． （4 分） （2020•自贡）如图所示的几何体的左视图是 ( A． B． C． D． 7 × 106 ) D． 4． （4 分） （2020•自贡）关于 x 的一元二次方程 ax 2 − 2 x + 2 = 0 有两个相等实数根，则 a 的 值为 ( A． ) 1 2 B． − 1 2 C．1 D． −1 5． （4 分） （2020•自贡）在平面直角坐标系中，将点 (2,1) 向下平移 3 个单位长度，所得点的 坐标是 ( A． (−1,1) ) B． (5,1) C． (2, 4) 第1页（共29页） D． (2, −2) 6． （4 分） （2020•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 ( A． B． C． D． 7． （4 分） （2020•自贡）对于一组数据 3，7，5，3，2，下列说法正确的是 ( A．中位数是 5 B．众数是 7 ) C．平均数是 4 ) D．方差是 3 8． （4 分） （2020•自贡）如果一个角的度数比它补角的 2 倍多 30° ，那么这个角的度数是 ( B． 70° A． 50° C． 130° D． 160° 9． （4 分） （2020•自贡）如图，在 Rt∆ABC 中，∠ACB = 90° ，∠A = 50° ，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D ，连接 CD ，则 ∠ACD 的度数是 ( A． 50° B． 40° 10． （4 分） （2020•自贡）函数 y = 大致图象为 ( C． 30° ) D． 20° k 与 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则函数 = y kx − b 的 x ) A． B． C． D． 第2页（共29页） ) 11． （4 分） （2020•自贡）某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到 来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 35% ，结果提前 40 天完成了这一任务．设 实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是 ( ) A． 80(1 + 35%) 80 40 − = x x B． 80 80 − = 40 (1 + 35%)x x C． 80 80 40 − = x (1 + 35%) x D． 80 80(1 + 35%) − = 40 x x 12． （4 分） （2020•自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中， AD = 2 ， AB = 6 ， ∠B 是锐角， AE ⊥ BC 于点 E ， F 是 AB 的中点，连结 DF 、 EF ．若 ∠EFD = 90° ，则 AE 长为 ( A．2 C． B． 5 3 2 2 D． ) 3 3 2 二、填空题（共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13． （4 分） （2020•自贡）分解因式： 3a 2 − 6ab + 3b 2 = ． 14． （4 分） （2020•自贡）与 14 − 2 最接近的自然数是 ． 15． （4 分） （2020•自贡）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员 对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序 重新排序（只填番号） : ． ①绘制扇形图； ②收集最受学生欢迎菜品的数据； ③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品； ④整理所收集的数据． 16． （4 分） （2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ABCD ，DC / / AB ．BC 长 6 米，坡角 β 为 45° ， AD 的坡角 α 为 30° ，则 AD 长为 第3页（共29页） 米（结果保留根号） ． 17． （4 分） （2020•自贡）如图，矩形 ABCD 中， E 是 AB 上一点，连接 DE ，将 ∆ADE 沿 DE 翻折，恰好使点 A 落在 BC 边的中点 F 处，在 DF 上取点 O ，以 O 为圆心， OF 长为半径作 半圆与 CD 相切于点 G ．若 AD = 4 ，则图中阴影部分的面积为 ． 18． （4 分） （2020•自贡）如图，直线 y = − 3x + b 与 y 轴交于点 A ，与双曲线 y = k 在第三 x 象限交于 B 、 C 两点，且 AB AC = 16 ．下列等边三角形△ OD1 E1 ，△ E1 D2 E2 ，△ E2 D3 E3 ， … 的边 OE1 ， E1 E2 ， E2 E3 ，… 在 x 轴上，顶点 D1 ， D2 ， D3 ，… 在该双曲线第一象限的分 支上，则 k = ，前 25 个等边三角形的周长之和为 ． 三、解答题（共 8 个题，共 78 分） 1 19． （8 分） （2020•自贡）计算： | −2 | −( 5 + π )0 + (− )−1 ． 6 20． （8 分） （2020•自贡）先化简，再求值：  x + 10 x +1 1 + 1) ，其中 x 是不等式组  ( 2 x − 4 x +1 5 − 2 x > 3 的整数解． 第4页（共29页） 21． （8 分） （2020•自贡）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边的延长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE = DF ，连接 AE 和 BF 相交于点 M ． 求证： AE = BF ． 22． （8 分） （2020•自贡）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“ A ： 文明礼仪， B ：环境保护， C ：卫生保洁， D ：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主 题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了 如图条形统计图和扇形统计图． （1）本次调查的学生人数是 人， m = ； （2）请补全条形统计图； （3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续 两天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四 天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是 第5页（共29页） ． 23． （10 分） （2020•自贡）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间， 为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按 9 折出售，乙商场对一次购物 中超过 100 元后的价格部分打 8 折． （1）以 x （单位：元）表示商品原价， y （单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商 场的让利方式写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 第6页（共29页） 24． （10 分） （2020•自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”， 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 | x − 2 | 的几何意义是数轴上 x 所对 应的点与 2 所对应的点之间的距离：因为 | x + 1|= | x − (−1) | ，所以 | x + 1| 的几何意义就是数轴 上 x 所对应的点与 −1 所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式 | x + 1| + | x − 2 | 的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点 A 、 B 、 P 分别表示数 −1 、2、 x ， AB = 3 ． | x + 1| + | x − 2 | 的几何意义是线段 PA 与 PB 的长度之和， 3 ，当点 P 在点 A 的左侧或点 B 的右侧时，PA + PB > 3 ． ∴ 当点 P 在线段 AB 上时，PA + PB = ∴| x + 1| + | x − 2 | 的最小值是 3． （3）解决问题： ① | x − 4 | + | x + 2 | 的最小值是 ； ②利用上述思想方法解不等式： | x + 3 | + | x − 1|> 4 ； ③当 a 为何值时，代数式 | x + a | + | x − 3 | 的最小值是 2． 第7页（共29页） 25． （12 分） （2020•自贡）如图， O 是 ∆ABC 的外接圆， AB 为直径，点 P 为 O 外一点， 且 PA = PC = 2 AB ，连接 PO 交 AC 于点 D ，延长 PO 交 O 于点 F ． ； （1）证明：  AF = CF （2）若 tan ∠ABC = 2 2 ，证明： PA 是 O 的切线； （3）在（2）条件下，连接 PB 交 O 于点 E ，连接 DE ，若 BC = 2 ，求 DE 的长． 第8页（共29页） 26． （14 分） （2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax 2 + bx + 3 与 x 轴交于点 A(−3, 0) 、 B(1, 0) ，交 y 轴于点 N ，点 M 为抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于点 C ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，连接 AM ，点 E 是线段 AM 上方抛物线上一动点， EF ⊥ AM 于点 F ，过点 E 作 EH ⊥ x 轴于点 H ，交 AM 于点 D ．点 P 是 y 轴上一动点，当 EF 取最大值时： ①求 PD + PC 的最小值； 1 ②如图 2， Q 点为 y 轴上一动点，请直接写出 DQ + OQ 的最小值． 4 第9页（共29页） 2020 年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1． （4 分） （2020•自贡）如图，直线 a / / b ， ∠1 = 50° ，则 ∠2 的度数为 ( A． 40° B． 50° C． 55° )