2015 年湖南省长沙市中考数学试卷 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（　　） 　 A．0.2 B． C． D．﹣5 　 2．（3 分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（　　） 　 A．x3+x=x4 B．（x2）3=x6 C．3x﹣2x=1 D．（a﹣b）2=a2﹣b2 　 3．（3 分）（2015•长沙）2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市中心 的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2 号线每天承动力约为 185000 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为（　　） 　 A．1.85×105 B．1.85×104 C．1.8×105 D．18.5×104 　 4．（3 分）（2015•长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） 　 A． B． C． D． 　 5．（3 分）（2015•长沙）下列命题中，为真命题的是（　　） 　 A．六边形的内角和为 360 度 B．多边形的外角和与边数有关 　 C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边 　 6．（3 分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组 　 A． B． C． 的解集，正确的是（　　） D． 　 7．（3 分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销 售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（　　） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 4 6 6 10 2 1 1 　 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 　 8．（3 分）（2015•长沙）下列说法中正确的是（　　） 　 A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件 　 B． 某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖 　 C． 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 　 D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查 　 9．（3 分）（2015•长沙）一次函数 y=﹣2x+1 的图象不经过（　　） 　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 　 10．（3 分）（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的 是（　　） 　 A． B． C． D． 　 11．（3 分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底 端 30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角∠ABO 为 α，则树 OA 的高度为（　　） 　 A． 米 B．30sinα 米 C．30tanα 米 D．30cosα 米 　 12．（3 分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销 售该电器一件，则可获利润 500 元，其利润率为 20%．现如果按同一标价打九折销售该电 器一件，那么获得的纯利润为（　　） 　 A．562.5 元 B．875 元 C．550 元 D．750 元 　 　 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．（3 分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形 状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中 摸出 1 个球，则摸出白球的概率是　　　　　　． 　 14．（3 分）（2015•长沙）圆心角是 60°且半径为 2 的扇形面积为　　　　　　（结果保留 π）． 　 15．（3 分）（2015•长沙）把 留根号）． 　 + 进行化简，得到的最简结果是　　　　　　（结果保 16．（3 分）（2015•长沙）分式方程 = 的解是 x=　　　　　　． 　 17．（3 分）（2015•长沙）如图，在△ABC 中，DE∥BC， ，DE=6，则 BC 的长是　 ． 　 18．（3 分）（2015•长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的一点，若 BC=6，AB=10，OD⊥BC 于点 D，则 OD 的长为　　　　　　． 　 　 三、解答题（共 8 小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，满分 66 分.解答应写出必要的文字说明，证明 过程或演算步骤） 19．（6 分）（2015•长沙）计算：（ ）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+ ． 　 20．（6 分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中 x=（3﹣π）0，y=2． 　 21．（8 分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传 统文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛 学生的成绩均不低于 50 分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统 计图表： 成绩 x/分 频数 频率 50≤x＜60 10 0.05 60≤x＜70 20 0.10 70≤x＜80 30 b 80≤x＜90 a 0.30 90≤x≤100 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a=　　　　　　，b=　　　　　　； （2）请补全频数分布直方图； （3）这次比赛成绩的中位数会落在　　　　　　分数段； （4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生 中成绩“优”等约有多少人？ 　 22．（8 分）（2015•长沙）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线 AC、BD 相交于点 O，将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角 α（0°＜α＜90°）后得直线 l， 直线 l 与 AD、BC 两边分别相交于点 E 和点 F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）当 α=30°时，求线段 EF 的长度． 　 23．（9 分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据 调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快 递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否 完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 　 24．（9 分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点 O（0，0），点 A（ ，0）与点 B（0，﹣ ），点 D 在劣弧 上，连接 BD 交 x 轴于点 C，且 ∠COD=∠CBO． （1）求⊙M 的半径； （2）求证：BD 平分∠ABO； （3）在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰好为⊙M 的切线，求此时点 E 的坐 标． 　 25．（10 分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称 之为“中国结”． （1）求函数 y= x+2 的图象上所有“中国结”的坐标； （2）若函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数 k 的值与 相应“中国结”的坐标； （3）若二次函数 y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k 为常数）的图象与 x 轴相交 得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一 共包含有多少个“中国结”？ 　 26．（10 分）（2015•长沙）若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c 是常 数）与 x 轴交于两个不同的点 A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与 y 轴交于点 P， 其图象顶点为点 M，点 O 为坐标原点． （1）当 x1=c=2，a= 时，求 x2 与 b 的值； （2）当 x1=2c 时，试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论； （3）当 x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB 的面积分别为 S1，S2，若△BPO∽△PAO， 且 S1=S2，求 m 的值． 　 　 2015 年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（　　） 　 A．0.2 B． C． D．﹣5 考点：无理数． 分析：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此 判断出无理数有哪些即可． 解答：解：∵﹣5 是整数， ∴﹣5 是有理数； ∵0.2 是有限小数， ∴0.2 是有理数； 菁优网版权所有 ∵ ，0.5 是有限小数， ∴ 是有理数； 是无限不循环小数， ∵ ∴ 是无理数． 故选：C． 点评：此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数． 　 2．（3 分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（　　） 　 A．x3+x=x4 B．（x2）3=x6 C．3x﹣2x=1 D．（a﹣b）2=a2﹣b2 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式． 分析：根据同类项、幂的乘方和完全平方公式计算即可． 解答：解：A、x3 与 x 不能合并，错误； B、（x2）3=x6，正确； C、3x﹣2x=x，错误； D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误； 故选 B 点评：此题考查同类项、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算． 　 3．（3 分）（2015•长沙）2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市中心 的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2 号线每天承动力约为 185000 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为（　　） 　 A．1.85×105 B．1.85×104 C．1.8×105 D．18.5×104 菁优网版权所有 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点