2021 年湖北省荆州市中考数学试卷 一、选择题(本大题共有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分) 1．在实数﹣1，0， ， A．﹣1 中，无理数是（　　） B．0 C． D． 2．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．若等式 2a2•a+□＝3a3 成立，则□填写单项式可以是（　　） A．a B．a2 C．a3 4．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（　　） 如图：已知直线 b∥c，a⊥b，求证：a⊥c． 证明：①∵a⊥b（已知） ∴∠1＝90°（垂直的定义） ② 又∵b∥c（已知） ∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行） ③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换） ④∴a⊥c（垂直的定义） D．a4 A．① B．② C．③ D．④ 5．若点 P（a+1，2﹣2a）关于 x 轴的对称点在第四象限，则 a 的取值范围在数轴上表示为 （　　） A． B． C． D． 6．已知：如图，直线 y1＝kx+1 与双曲线 y2＝ 在第一象限交于点 P（1，t），与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，则下列结论错误的是（　　） A．t＝2 B．△AOB 是等腰直角三角形 C．k＝1 D．当 x＞1 时，y2＞y1 7．如图，矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 的延长线上， 若 A（2，0），D（4，0），以 O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点 B，交 y 轴正半轴于 点 E，连接 DE，BE，则∠BED 的度数是（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，点 D，P 分别是图中所作直线和射线与 AB，CD 的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（　　） A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A 9．如图，在菱形 ABCD 中，∠D＝60°，AB＝2，以 B 为圆心、BC 长为半径画 ，点 P 为 菱形内一点，连接 PA，PB，PC．当△BPC 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积 为（　　） A． B． C．2π D． 10．定义新运算“※”：对于实数 m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边 是通常的加法和乘法运算，例如： [2，3]※[4 ，5]＝2×5+3×4＝22．若关于 x 的方程 [x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＜ 且 k≠0 B．k C．k 二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分) 且 k≠0 D．k≥ 11．已知：a＝（ ）﹣1+（﹣ ）0，b＝（ + ）（ ﹣ ），则 ＝　 　． 12．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能 打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 　 　． 13．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，OD⊥AC 于 D，连接 OC，过点 D 作 DF∥OC 交 AB 于 F ， 过 点 B 的 切 线 交 AC 的 延 长 线 于 E ． 若 AD ＝ 4 ， DF ＝ ， 则 BE ＝ ． 14．如图 1 是一台手机支架，图 2 是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点 A，B 转动，测量 知 BC＝8cm，AB＝16cm．当 AB，BC 转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点 C 到 AE 的距离为 　 　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94， 15．若关于 x 的方程 + ＝3 的解是正数，则 m 的取值范围为 　 ≈1.73） 　． 16．如图，过反比例函数 y＝ （k＞0，x＞0）图象上的四点 P1，P2，P3，P4 分别作 x 轴的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， 再 过 P1 ， P2 ， P3 ， P4 分 别 作 y 轴 ， P1A1，P2A2，P3A3 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次 为 S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则 S1 与 S4 的数量关系为 　 　． 三、解答题(本大题共有 8 个小题，共 72 分) 17．（8 分）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中 a＝2 ． 18．（8 分）已知：a 是不等式 5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7 的最小整数解，请用配方法解 关于 x 的方程 x2+2ax+a+1＝0． 19．（8 分）如图，在 5×5 的正方形网格图形中，小正方形的边长都为 1，线段 ED 与 AD 的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上． 请在网格图形中画图： （1）以线段 AD 为边画正方形 ABCD，再以线段 DE 为斜边画等腰直角三角形 DEF，其 中顶点 F 在正方形 ABCD 外； （2）在（1）中所画图形基础上，以点 B 为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形 的面积为正方形 ABCD 和△DEF 面积之和，其它顶点也在格点上． 20．（8 分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为 了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24 天）的阅 读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为 t（小时），阅 读 总 时 间 分 为 四 个 类 别 ： A （ 0≤t ＜ 12 ） ， B （ 12≤t ＜ 24 ） ， C （ 24≤t ＜ 36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为 　 　； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中 a 的值为 　 　，圆心角 β 的度数为 　 　； （4）若该校有 2000 名学生，估计寒假阅读的总时间少于 24 小时的学生有多少名？对 这些学生用一句话提一条阅读方面的建议． 21．（8 分）小爱同学学习二次函数后，对函数 y＝﹣（|x|﹣1）2 进行了探究．在经历列表、 描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ① 写出该函数的一条性质：　 　； ② 方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1 的解为：　 　； ③ 若方程﹣（|x|﹣1）2＝a 有四个实数根，则 a 的取值范围是 　 　． （2）延伸思考： 将函数 y＝﹣（|x|﹣1）2 的图象经过怎样的平移可得到函数 y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3 的图 象？写出平移过程，并直接写出当 2＜y1≤3 时，自变量 x 的取值范围． 22．（10 分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买 2 支百合和 1 支康乃馨共需花费 14 元，3 支康乃馨的价格比 2 支百合的价格多 2 元． （1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ （2）小美准备买康乃馨和百合共 11 支，且百合不少于 2 支．设买这束鲜花所需费用为 w 元，康乃馨有 x 支，求 w 与 x 之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案， 写出最少费用． 23．（10 分）在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝4，F 是对角线 AC 上不与点 A，C 重合的一 点，过 F 作 FE⊥AD 于 E，将△AEF 沿 EF 翻折得到△GEF，点 G 在射线 AD 上，连接 CG． （1）如图 1，若点 A 的对称点 G 落在 AD 上，∠FGC＝90°，延长 GF 交 AB 于 H，连接 CH． ① 求证：△CDG∽△GAH； ② 求 tan∠GHC． （2）如图 2，若点 A 的对称点 G 落在 AD 延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF 与 △AEF 是否全等，并说明理由． 24．（12 分）已知：直线 y＝﹣x+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 为直线 AB 上一 动点，连接 OC，∠AOC 为锐角，在 OC 上方以 OC 为边作正方形 OCDE，连接 BE，设 BE＝t． （1）如图 1，当点 C 在线段 AB 上时，判断 BE 与 AB 的位置关系，并说明理由； （2）直接写出点 E 的坐标（用含 t 的式子表示）； （ 3 ） 若 tan∠AOC ＝ k ， 经 过 点 A 的 抛 物 线 y ＝ ax2+bx+c （ a ＜ 0 ） 顶 点 为 P ， 且 有 6a+3b+2c＝0，△POA 的面积为 ，当 t＝ 时，求抛物线的解析式． 2021 年湖北省荆州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分) 1．在实数﹣1，0， ， A．﹣1 中，无理数是（　　） B．0 C． D． 【分析】根据有理数（包括整数和分数）和无理数（无限不循环的小数）的定义判断即 可． 【解答】解：选项 A、B：∵﹣1、0 是整数，∴﹣1、0 是有理数，∴选项 A、B 不符合题 意； 选项 C：∵ 是分数，∴ 是有理数，∴选项 C 不符合题意； 选项 D：∵ 是无限不循环的小数，∴ 是无理数，∴选项 D 符合题意． 故选：D． 2．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【解答】解：从上边看，是一个矩形，矩形的内部有一个与矩形两边相切的圆． 故选：A． 3．若等式 2a2•a+□＝3a3 成立，则□填写单项式可以是（　　） A．a B．a2 C．a3 D．a4 【分析】直接利用单项式乘单项式以及合并同类项法则计算得出答案． 【解答】解：∵等式 2a2•a+□＝3a3 成立， ∴2a3+□＝3a3， ∴□填写单项式可以是：3a3﹣2a3＝a3． 故选：C． 4．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（　　） 如图：已知直线 b∥c，a⊥b，求证：a⊥c． 证明：①∵a⊥b（已知） ∴∠1＝90°（垂直的定义） ② 又∵b∥c（已知） ∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行） ③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换） ④∴a⊥c（垂直的定义） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据垂直的定义得到∠1＝90°，再根据两直线平行，同位角相等得到 ∠2＝ 90°，即可判定 a⊥c． 【解答】证明：①∵a⊥b（已知）， ∴∠1＝90°（