2021 年广西北部湾经济区中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分） 1. 下列各数是有理数的是 () A. π 2. B. √2 C. √3 3 D. 0 如图是一个几何体的主视图，则该几何体是 () A. B. C. D. 3. 如图，小明从 A 入口进入博物馆参观，参观后可从 B，C，D 三个出口走 出，他恰好从 C 出口走出的概率是 () A. 1 4 B. 1 3 第11 页，共11 页 4. C. 1 2 D. 2 3 我国天问一号火星探测器于 2021 年 5 月 15 日成功着陆火星表面 . 经测算，地球跟火星最远距离约 400000000 千米，其中数据 400000000 科学记数法表示为 () A. 4 × 109 5. 6. D. 0.4 ×10 9 A. 这一天最低温度是 − 4 ℃ B. 这一天 12 时温度最高 C. 最高温比最低温高 8 ℃ D. 0 时至 8 时气温呈下降趋势 下列运算正确的是 ( ) 2 3 5 B. a ¿ =a ¿ 6 2 3 C. a ÷ a =a 2 2 D. 3 a −2 a=a 平面直角坐标系内与点 P(3,4) 关于原点对称的点的坐标是 () A. (−3,4) 8. C. 4 × 108 如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是 () 2 3 5 A. a ⋅a =a 7. B. 40 ×10 7 B. (−3, − 4) C. (3,− 4 ) D. (4,3) 如图， ⊙O 的半径 OB 为 4， OC ⊥ AB 于点 D， ∠ BAC =30 ° ，则 OD 的长是 () A. √2 B. √3 第22 页，共22 页 C. 2 D. 3 9. 一次函数 y=2 x+ 1 的图象不经过 () A. 第一象限 10. B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 《 九章算术 》 是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空； 二人共车，九人步 . 问：人与车各几何？译文：若 3 人坐一辆车，则两辆车是空的；若 2 人坐一辆 车，则 9 人需要步行，问：人与车各多少？设有 x 辆车，人数为 y，根据题意可列方程组为 () A. x−2 { y=3 y=2 x +9 B. { y=3(x −2) C. y=2 x + 9 x−2 { y=3 y=2 x −9 D. { y=3(x −2) y=2 x − 9 11. 如图，矩形纸片 ABCD，AD： AB=√ 2 ：1，点 E，F 分别在 AD，BC 上，把纸片如图沿 EF 折叠，点 A，B 的对应点分别为 A ′ ， B ′ ， 连接 AA ′ 并延长交线段 CD 于点 G，则 A. √2 2 B. 2 3 C. 1 2 D. EF () AG 的值为 √5 3 12. 定义一种运算： a ∗ b= {ab,,aa<b≥ b ，则不等式 (2 x +1)∗(2 − x )> 3 的解集是 () A. 1 x> 1 或 x< 3 1 B. −1< x < 3 C. x> 1 或 x<−1 D. x> 1 x< −1 3 或 第31 页，共11 页 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 13. 要使分式 1 x −2 有意义，则 x 的取值范围是______． 2 2 14. 分解因式： a − 4 b =¿ ______． 15. 如图，从 楼顶 A 处看楼下 荷塘 C 处的俯角 为 45 ° ，看楼下荷塘 D 处的俯角为 60 ° ，已知楼高 AB 为 30 米，则荷塘的宽 CD 为______ 米 ¿ ¿ 结果保留根号 ¿ ． 16. 为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力， 演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占 50 ，演讲能力占 40 ，演讲效果占 10 ，计算选手的综合成绩 ¿¿ 百分制 ¿ . 小婷的三项成绩依次是 84，95，90，她的综合成绩是______ ． 17. 如图，从一块边长为 2， ∠ A=120 ° 的菱形铁片上剪出一个扇形，这 ¿ 个扇形在以 A 为圆心的圆上 ¿ 阴影部分 ¿ ，且圆弧与 BC，CD 分别 相切于点 E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是_ _____ ． 第42 页，共22 页 18. 如图，已知点 A (3,0) ， B (1,0) ， 两点 C( −3,9) ， D(2,4) 在抛物线 y=x 2 上，向左或向右平移抛物线后， C，D 的对应点分别为 C ′ ， D′ . 当 四边形 ABC ′ D ′ 的周长最小时，抛物 线的解析式为______ ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19. 计算： 2 ×(− 1 +1) ÷(1 −3) ． 2 20. 解分式方程： x x = +1 ． x +1 3 x +3 3 第51 页，共11 页 21. 如图，四边形 ABCD 中， AB /¿ CD ， ∠B=∠ D ，连接 AC． (1) 求证： △ ABC ≌ △ CDA ； ¿ (2) 尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 E ¿ 不要求写作法， 保留作图痕迹 ¿ ； (3) 在 (2) 的条件下，已知四边形 ABCD 的面积为 20， AB=5 ，求 CE 的长． 22. 某水果公司以 10 元 ¿ kg 的成本价新进 2000 箱荔枝，每箱质量 5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏 ¿ 的荔枝，现随机抽取 20 箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量 ¿ 单位： kg ¿ 如下： 4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7 4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0 整理数据： 质量 4.5 (kg) 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 ¿ 数量 ¿ 2 1 7 a 3 1 箱 ¿ 分析数据： 平均数 4.75 众数 中位数 b c (1) 直接写出上述表格中 a，b，c 的值． (2) 平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任 意选择其中一个统计量，估算这 2000 箱荔枝共损坏了多少千克？ 第62 页，共22 页 (3) 根据 (2) 中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本 ¿¿ 结果保留一位 小数 ¿ ？ 23. 【阅读理解】如图 ① ， l 1 /¿ l 2 ， △ ABC 的面积与 △ DBC 的面积相等吗？为什么？ 解：相等 . 在 △ ABC 和 △ DBC 中，分别作 AE ⊥ l 2 ， DF ⊥l 2 ，垂足分别为 E，F． ∴∠ AEF=∠ DFC=90° ， ∴ AE/¿ DF ． ∵l 1 /¿ l 2 ， ∴ 四边形 AEFD 是平行四边形， ∴ AE=DF ． 又 S △ ABC = 1 1 BC ⋅ AE ， S △ DBC = BC ⋅ DF ． 2 2 ∴ S △ ABC =S △ DBC ． 【类比探究】如图 ② ，在正方形 ABCD 的右侧作等腰 △ CDE ， CE=DE ， AD =4 ， 连接 AE，求 △ ADE 的面积． 解：过点 E 作 EF ⊥CD 于点 F，连接 AF． 请将余下的求解步骤补充完整． 【拓展应用】如图 ③ ，在正方形 ABCD 的右侧作正方形 CEFG，点 B，C，E 在同一直线上， AD =4 ，连接 BD，BF，DF，直接写出 △ BDF 的面积． 第71 页，共11 页 24. 2022 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情 . 如图是某跳台滑雪训练场的横 截面示意图，取某一位置的水平线为 x 轴，过跳台终点 A 作水平线的垂线为 y 轴，建立平面直角坐标 系，图中的抛物线 C 1 ： y=− 1 2 7 x + x +1 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从 12 6 点 O 正上方 4 米处的 A 点滑出，滑出后沿一段抛物线 C 2 ： y=− 1 2 x +bx + c 运动． 8 (1) 当运动员运动到离 A 处的水平距离为 4 米时，离水平线的高度为 8 米，求抛物线 C2 的函数 第82 页，共22 页 ¿ 解析式 ¿ 不要求写出自变量 x 的取值范围 ¿ ； (2) 在 (1) 的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为 1 米？ (3) 当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过 3 米时，求 b 的取值范围． 25. 如图 ① ，在 △ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D， BC =14 ， AD =8 ， BD =6 ，点 E ¿ 是 AD 上一动点 ¿ 不与点 A，D 重合 ¿ ，在 △ ADC 内作矩形 EFGH，点 F 在 DC 上，点 G，H 在 AC 上，设 DE=x ，连接 BE． (1) 当矩形 EFGH 是正方形时，直接写出 EF 的长； (2) 设 △ ABE 的面积为 S 1 ，矩形 EFGH 的面积为 S 2 ，令 y= S1 ，求 y 关于 x 的函数 S2 ¿ 解析式 ¿ 不要求写出自变量 x 的取值范围 ¿ ； (3) 如图 ② ，点 P(a , b) 是 (2) 中得到的函数图象上的任意一点，过点 P 的直线 l 分别与 x 轴正半轴，y 轴正半轴交于 M，N 两点，求 △ OMN 面积的最小值，并说明理由． 第91 页，共11 页 26. 如图，已知 AD，EF 是 ⊙ O 的直径， AD =6 √ 2 ， ⊙ O 与▱OABC 的边 AB，OC 分别交于点 E，M，连接 CD 并延长，与 AF 的延长线交于点 G， ∠ AFE =∠ OCD ． (1) 求证：CD 是 ⊙ O 的切线； (2) 若 GF=1 ，求 cos ∠ AEF 的值； (3) 在 (2) 的条件下，若 ∠ ABC 的平分线 BH 交 CO 于点 H，连接 AH 交 ⊙ O 于点 N，求 AB NH 的值． 第102 页，共22 页 第111 页，共11 页 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：0 是有理数． 故选：D． 根据有理数的定义，可得答案． 本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限不循环小