吉林省 2019 年初中毕业生学业水平考试数学试题 数学试题共 6 题，包括六道大题，共 26 道小题。全卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2．答题时，请您按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。 一、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分） 1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ） A．3 B．2 C．1 D．－1 2．如图，由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ） A． B． C． 3．若 a 为实数，则下列各式的运算结果比 a 小的是（ A． a  1 B． a  1 C． a �1 D． ） D． a �1 4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ A．30° B．90° C．120° D．180° ） 5．如图，在⊙O 中， � AB 所对的圆周角∠ACB=50°，若 P 为 � AB 上一点，∠AOP=55°，则∠POB 的度 数为（ ） A．30° B．45° C．55° D．60° 6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风 光。如图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 1 / 22 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 2 7．分解因式： a  1  ________． 8．不等式 3x  2  1 的解集是________． y x 9．计算： 2 x 2 �y  ________． 10．若关于 x 的一元二次方程  x  3  c 有实数根，则 c 的值可以为________（写出一个即可）． 2 11．如图，E 为△ABC 边 CA 延长线上一点，过点 E 作 ED∥BC．若∠BAC=70°，∠CED=50°，则 ∠B=________°． 12．如图，在四边形 ABCD 中，AB=10，BD⊥AD．若将△BCD 沿 BD 折叠,点 C 与边 AB 的中点 E 恰 好重合，则四边形 BCDE 的周长为________． 13．在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时同地测得一栋楼的影长为 90m，则这 栋楼的高度为________m． 14．如图，在扇形 OAB 中，∠AOB=90°，D，E 分别是半径 OA，OB 上的点，以 OD，OE 为邻边的 □ODCE 的顶点 G 在 � AB 上，若 OD=8,OE=6,则阴影部分图形的面积是________（结果保留 π）． 三、解答题（每小题 5 分，共 20 分） 15．先化简，再求值：  a  1  a  a  2  ，其中 a  2 ． 2 16．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两 条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一 条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率． 17.已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x  2 时， y  6 ． ⑴ 求 y 关于 x 的函数解析式； ⑵ 当 x  4 时，求 y 的值． 2 / 22 18．如图，在 □ ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边 BC 于点 F，连接 BE、DF．求证：△ABE≌△CDF． 四、解答题（每小题 7 分，共 28 分） 19.图①，图②均为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段 AB，在图 ②中已画出线段 CD，其中 A、B、C、D 均为格点，按下列要求画图： ⑴ 在图①中，以 AB 为对角线画一个菱形 AEBF，且 E，F 为格点； ⑵ 在 图 ② 中 ， 以 CD 为 对 角 线 画 一 个 对 边 不 相 等 的 四 边 形 CGDH ， 且 G,H 为 格 点 ， ∠CGD=∠CHD=90° 20.问题解决 糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根 竹签串 5 个山楂，还剩余 4 个山楂；如果每根竹签串 8 个山楂，还剩余 7 根竹签．这些竹签有多少根？ 山楂有多少个？ 反思归纳 现有 a 根竹签，b 个山楂．若每根竹签串 c 个山楂，还剩余 d 个山楂，则下列等式成立的是________（填 写序号）． ⑴bc+d=a；⑵ ac+d=b；⑶ ac-d=b． 21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座 A 与地面的距离 AB 为 170cm，花洒 AC 的长为 3 / 22 30cm，与墙壁的夹角∠CAD 为 43°．求花洒顶端 C 到地面的距离 CE（结果精确到 1cm）（参考数据： sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93） 22.某地区有城区居民和农村居民共 80 万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息 的最主要途径”． ⑴ 该机构设计了以下三种调查方案： 方案一：随机抽取部分城区居民进行调查； 方案二：随机抽取部分农村居民进行调查； 方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查． 其中最具有代表性的一个方案是________； ⑵ 该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播，其他， 共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下 列问题： ① 这次接受调查的居民人数为________人； ② 统计图中人数最多的选项为________； ③ 请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数． 五、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 23.甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到 B 地，乙车立即以原速原路返回到 B 地，甲、乙两车距 B 地的路程 y（km）与各自行驶的时间 x（h）之间的关系如图所示． ⑴m=________，n=________； ⑵ 求乙车距 B 地的路程 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； ⑶ 当甲车到达 B 地时，求乙车距 B 地的路程 4 / 22 24.性质探究 如图①，在等腰三角形 ABC 中，∠ACB=120°，则底边 AB 与腰 AC 的长度之比为________． 理解运用 ⑴ 若顶角为 120°的等腰三角形的周长为 84 3 ，则它的面积为________； ⑵ 如图②，在四边形 EFGH 中，EF=EG=EH． ① 求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH; ② 在边 FG，GH 上分别取中点 M，N，连接 MN．若∠FGH=120°，EF=10,直接写出线段 MN 的长． 类比拓展 顶角为 2α 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含 α 的式子表示）． 六、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 25.如图，在矩形 ABCD 中，AD=4cm，AB=3cm，E 为边 BC 上一点，BE=AB，连接 AE．动点 P、Q 从点 A 同时出发，点 P 以 2 cm/s 的速度沿 AE 向终点 E 运动；点 Q 以 2cm/s 的速度沿折线 AD—DC 向终点 C 运动．设点 Q 运动的时间为 x（s），在运动过程中，点 P，点 Q 经过的路线与线 段 PQ 围成的图形面积为 y（cm²）． ⑴AE=________cm,∠EAD=________°； ⑵ 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； 5 ⑶ 当 PQ= cm 时，直接写出 x 的值． 4 5 / 22 y   x  1  k 2 26.如图，抛物线 与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C（0，－3）．P 为抛物线上一点，横坐标为 m，且 m＞0． ⑴ 求此抛物线的解析式； ⑵ 当点 P 位于 x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值； ⑶ 设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P）最高点与最低点的纵坐标之差为 h． ① 求 h 关于 m 的函数解析式，并写出自变量 m 的取值范围； ② 当 h=9 时，直接写出△BCP 的面积． 6 / 22 一、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分） 1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ A．3 B．2 ） C．1 D．－1 答案：D 考点：数轴。 解析：蝴蝶在原点的左边，应为负数，所以，选项中，只有－1 有可能， 选 D。 2．如图，由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ A． B． C． ） D． 答案：D 考点：三视图。 解析：从上面往下看，能看到一排四个正方形，D 符合。 3．若 a 为实数，则下列各式的运算结果比 a 小的是（ A． a  1 B． a  1 C． a �1 答案：B 7 / 22 ） D． a �1 考点：实数的运算。 解析： a  1 表示比 a 小 1 的数，所以，B 符合。 4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ A．30° B．90° C．120° ） D．180° 答案：C 考点：旋转。 解析：一个圆周 360°，图中三个箭头，均分圆，每份为 120°， 所以，旋转 120°后与自身重合。 选 C。 5．如图，在⊙O 中， 数为（ A．30° � AB 所对的圆周角∠ACB=50°，若 P 为 � AB 上一点，∠AOP=55°，则∠POB 的度 ） B．45° C．55° 答案：B 考点：同弧所对圆周角与圆心角之间的关系。 解析：圆周角∠ACB、圆心角∠AOB 所对的弧都是弧 AB， 所以，∠AOB＝2∠ACB＝100°， ∠POB＝∠AOB－∠AOP＝100°－55°＝45°， 选 B。 8 / 22 D．60° 6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风 光。如图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ） A．两点之间，线段最