2019 年北京市中考数学试卷 一、选择题（本题共 16 分,每小题 2 分) 1．（2 分）（2019•北京）4 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制 造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的 运行轨道，距地球最近点 439000 米，将 439000 用科学记数法表示应为 　　 A． B． C． D． 2．（2 分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是 　　 A． B． C． D． 3．（2 分）（2019•北京）正十边形的外角和为 　　 A． B． C． 4．（2 分）（2019•北京）在数轴上，点 向右平移 1 个单位长度，得到点 A． ，若 （1）在射线 上取一点 在原点 的两侧，分别表示数 ，2，将点 ，则 的值为 　　 B． C． 5．（2 分）（2019•北京）已知锐角 连接 ， D． D．1 ，如图， ，以点 为圆心， 长为半径作 ，交射线 ； （2）分别以点 （3）连接 ， ， 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 　　 第 1 页（共 34 页） ， ； 于点 ， A． B．若 C． D． 6．（2 分）（2019•北京）如果 A． ．则 ，那么代数式 B． 的值为 C．1 7．（2 分）（2019•北京）用三个不等式 ， D．3 ， 中的两个不等式作为题设， 余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为 　　 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2 分）（2019•北京）某校共有 200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情 况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图 表的一部分 时间 人数 学生类型 性别 学段 男 7 31 25 30 4 女 8 29 26 32 8 25 36 44 11 初中 高中 第 2 页（共 34 页） 下面有四个推断： ① 这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在 ② 这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在 之间 之间 ③ 这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在 之间 ④ 这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在 之间 所有合理推断的序号是 　　 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．（2 分）（2019•北京）分式 的值为 0，则 的值是　　． 10．（2 分）（2019•北京）如图，已知 ，通过测量、计算得 的面积约为　　 ．（结果保留一位小数） 11．（2 分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是　　．（写出 所有正确答案的序号） 第 3 页（共 34 页） 12．（2 分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则 ， ， 　　 （点 是网格线交点）． 13．（2 分）（2019•北京）在平面直角坐标系 上，点 关于 轴的对称点 中，点 在双曲线 ， ，则 ， 在双曲线 的值为　　． 14．（2 分）（2019•北京）把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四 个直角三角形分别拼成如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为　　． 15．（2 分）（2019•北京）小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 ， 在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4， ，9， ，记这组新数据的方差为 ，则 16．（2 分）（2019•北京）在矩形 中， 上的点（不与端点重合），对于任意矩形 ① 存在无数个四边形 是平行四边形； ② 存在无数个四边形 是矩形； ③ 存在无数个四边形 是菱形； ④ 至少存在一个四边形 　　 （填“ ”，“ ， ， ， ”或“ ” 分别为边 ， ， ， ，下面四个结论中， 是正方形． 所有正确结论的序号是　　． 二、解答题（本题共 68 分，第 17-21 题，每小题 5 分，第 22-24 题，每小题 5 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证 明过程， 第 4 页（共 34 页） 17．（5 分）（2019•北京）计算： ． 18．（5 分）（2019•北京）解不等式组： 19．（5 分）（2019•北京）关于 的方程 有实数根，且 为正整数，求 的值及此时方程的根． 20．（5 分）（2019•北京）如图，在菱形 上， ，连接 （1）求证： （2）延长 中， 为对角线，点 ， 分别在 ， ． ； 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．若 ， ，求 的长． 21．（5 分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指 数．对国家创新指数得分排名前 40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面 给出了部分信息： ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成 7 组： ， ， ．国家创新指数得分在 ， ， ； 这一组的是： 61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 ．40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图： 第 5 页（共 34 页） ， ， ．中国的国家创新指数得分为 69.5． （以上数据来源于《国家创新指数报告 》 根据以上信息，回答下列问题： （1）中国的国家创新指数得分排名世界第　　； （2）在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内 的少数几个国家所对应的点位于虚线 的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点； （3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为　　万美元； （结果保留一位小数） （4）下列推断合理的是　　． ① 相比于点 ， 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加 快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力； ② 相比于点 ， 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决 胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值． 22．（6 分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点 点 到点 ， ， 的距离均等于 的平分线交图形 （1）求证： （2）过点 连接 ， 于点 为常数），到点 ，连接 ， ， ， ，如图所示， 的距离等于 的所有点组成图形 ． ； 作 ．若 ，垂足为 ，求直线 ，作 与图形 ，垂足为 ，延长 的公共点个数． 第 6 页（共 34 页） 交图形 于点 ， 23．（6 分）（2019•北京）小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ① 将诗词分成 4 组，第 组有 首， ，2，3，4； ② 对于第 组诗词，第 天背诵第一遍，第 三遍后完成背诵，其它天无需背诵， 第1天 第2天 天背诵第二遍，第 天背诵第三遍， ，2，3，4； 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③ 每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首． 解答下列问题： （1）填入 补全上表； （2）若 ， ， ，则 的所有可能取值为　　； （3）7 天后，小云背诵的诗词最多为　　首． 24．（6 分）（2019•北京）如图， 上一动点，连接 交弦 是 于点 小腾根据学习函数的经验，对线段 与弦 所围成的图形的外部的一定点， 是 ． ， ， 的长度之间的关系进行了探究．下面是 小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点 在 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 ， ， 的长度的 几组值，如下表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 第 7 页（共 34 页） 在 ， ， 的长度这三个量中，确定　　的长度是自变量，　　的长度和　　的长 度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当 时， 25．（5 分）（2019•北京）在平面直角坐标系 直线 分别交于点 ， ，直线 的长度约为　　 中，直线 与直线 ． 与直线 交于点 ， ． （1）求直线 与 轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 界）为 ． ①当 时，结合函数图象，求区域 ② 若区域 ， 围成的区域（不含边 内的整点个数； 内没有整点，直接写出 的取值范围． 26．（6 分）（2019•北京）在平面直角坐标系 点 ， ，将点 （1）求点 向右平移 2 个单位长度，得到点 中，抛物线 ，点 与 轴交于 在抛物线上． 的坐标（用含 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点 ， ， ．若抛物线与线段 求 的取值范围． 第 8 页（共 34 页） 恰有一个公共点，结合函数图象， 27．（7 分）（2019•北京）已知 为射线 上一点， 心，将线段 为线段 顺时针旋转 ， 为射线 上一动点，连接 ，得到线段 上一定点， ，满足 ，连接 ， 为钝角，以点 为中 ． （1）依题意补全图 1； （2）求证： （3）点 ； 关于点 总有 的对称点为 ，连接 ．写出一个 的值，使得对于任意的点 ，并证明． 28．（7 分）（2019•北京）在 所有点都在 中， 的内部或边上，则称 ， 分别是 为 两边的中点，如果 的中内弧．例如，图 1 中 上的 是 的一条中内弧． （1）如图 2，在 中， 的最长的中内弧 ， ，并直接写出