2021 年山东省烟台市中考数学试卷 一 、 选 择 题 （ 本 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 36 分 ） 每 小 题 都 给 出 标 号 为 A,B,C,D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1．若 x 的相反数是 3，则 x 的值是（　　） A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3 2．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． C．（a2）3＝a6 D．a2÷a3＝a 3．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a2+a3＝a5 4．一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是（ 　） A． B． C． D． 5．2021 年 5 月 15 日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一 步．已知火星与地球的近距离约为 5500 万公里，5500 万用科学记数法表示为（　　） A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×103 6．一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三 角板的斜边上，图中∠α 的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 7．如图，在直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B，C 在坐标轴上，若点 B 的坐标为 （﹣1，0），∠BCD＝120°，则点 D 的坐标为（　　） A．（2，2） B．（ ，2） C．（3， ） D．（2， ） 8．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键的结果为 m； 按键的结果为 n； 按键的结果为 k． 下列判断正确的是（　　） A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k 9．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣mnx+m+n＝0，其中 m，n 在数轴上的对应点如图所示， 则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 10．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘 将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（　　） A． B． C． D． 11．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣1，0），B（3，0），与 y 轴交于点 C．下列结论： ①ac＞0； ② 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； ③3a+c＝0； ④a+b≥am2+bm． 其中正确的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成的图形如图所示， ∠AOB＝∠BOC＝…＝ ∠LOM＝30°．若 OA＝16，则 OG 的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．若代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 　 　． 14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口 A 处立一根垂直于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B 观察井水水岸 D，视线 BD 与井口的直 径 AC 交于点 E，如果测得 AB＝1 米，AC＝1.6 米，AE＝0.4 米，那么 CD 为 　 　米． 15．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出 来，就是一个三阶幻方．将数字 1～9 分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每 一竖行以及两条对角线上的数字之和都是 15，则 a 的值为 　 　． 16．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为 40 米，当无人 机与旗杆的水平距离是 45 米时，观测旗杆顶部的俯角为 30°，则旗杆的高度约为 米． （结果精确到 1 米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 A，B，O 在网格线的交点上，则 sin∠ACB 的值是 　 　． 18．综合实践活动课上，小亮将一张面积为 24cm2，其中一边 BC 为 8cm 的锐角三角形纸片 （如图 1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 BCDE（如图 2），则矩 形的周长为 　 　cm． 三、解答题（本大题共 7 个小题，满分 66 分 19．（6 分）先化简，再求值： ，从﹣2＜x≤2 中选出合适的 x 的整数值代入求值． 20．（8 分）2021 年是中国共产党成立 100 周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神， 今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派 15 名学员参加了网上测试， 现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下： 甲班 15 名学员测试成绩（满分 100 分）统计如下： 87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98． 乙班 15 名学员测试成绩（满分 100 分）统计如下： 77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89 （1）按如表分数段整理两班测试成绩 班级 70.5～ 75.5～ 80.5～ 85.5～ 90.5～ 95.5～ 75.5 80.5 85.5 90.5 95.5 100.5 甲 1 2 a 5 1 2 乙 0 3 3 6 2 1 表中 a＝　 　； （2）补全甲班 15 名学员测试成绩的频数分布直方图； （3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 86 x 86 44.8 乙 86 88 y 36.7 表中 x＝　 　，y＝　 　． （4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 　 　班； （5）本次测试两班的最高分都是 98 分，其中甲班 2 人，乙班 1 人．现从以上三人中随 机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两 班各一人参加全市党史知识竞赛的概率． 21．（8 分）如图，正比例函数 y＝ x 与反比例函数 y＝ （x＞0）的图象交于点 A，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，OB＝4，点 C 在线段 AB 上，且 AC＝OC． （1）求 k 的值及线段 BC 的长； （2）点 P 为 B 点上方 y 轴上一点，当△POC 与△PAC 的面积相等时，请求出点 P 的坐 标． 22．（9 分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小 商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件．通过市场调查发现，每 件小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件 62.5 元．为提高市场竞争力， 促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价， 则该商品至少需打几折销售？ 23．（10 分）如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ① 作∠BAC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D； ② 作线段 AD 的垂直平分线 EF 与 AB 相交于点 O； ③ 以点 O 为圆心，以 OD 长为半径画圆，交边 AB 于点 M． （2）在（1）的条件下，求证：BC 是⊙O 的切线； （3）若 AM＝4BM，AC＝10，求⊙O 的半径． 24．（11 分）有公共顶点 A 的正方形 ABCD 与正方形 AEGF 按如图 1 所示放置，点 E，F 分别在边 AB 和 AD 上，连接 BF，DE，M 是 BF 的中点，连接 AM 交 DE 于点 N． 【观察猜想】 （1）线段 DE 与 AM 之间的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； 【探究证明】 （2）将图 1 中的正方形 AEGF 绕点 A 顺时针旋转 45°，点 G 恰好落在边 AB 上，如图 2，其他条件不变，线段 DE 与 AM 之间的关系是否仍然成立？并说明理由． 25．（14 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A（﹣2，0），B（4，0），与 y 轴正半轴 交于点 C，且 OC＝2OA，抛物线的顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 E．直线 y＝mx+n 经过 B，C 两点． （1）求抛物线及直线 BC 的函数表达式； （2）点 F 是抛物线对称轴上一点，当 FA+FC 的值最小时，求出点 F 的坐标及 FA+FC 的 最小值； （3）连接 AC，若点 P 是抛物线上对称轴右侧一点，点 Q 是直线 BC 上一点，试探究是 否存在以点 E 为直角顶点的 Rt△PEQ，且满足 tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．