黑龙江省龙东地区 2020 年中考数学试题 考生注意： 1．考试时间 120 分钟 2．全卷共三道大题，总分 120 分 一、选择题（每题 3 分，满分 30 分） ） 1.下列各运算中，计算正确的是（ A. a2 � 2a 2  2a 4 B. C. ( x  y )  x  xy  y 2 2 x8 �x 2  x 4  D. 3 x 2  2 3  9 x 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可． 【详解】A． a � 2a  2a ，正确； 2 B． C． 2 x8 �x 2  x8 2  x 6 4 ，故 B 选项错误； ( x  y )2  x 2  2 xy  y 2  D． 3 x  2 3 ，故 C 选项错误；  27 x 6 ，故 D 选项错误， 故选 A． 【点睛】本题考查了单项式的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式等，熟练掌握各运算的运算法则是解 题的关键． 2.下列图标中是中心对称图形的是（ A. B. ） C. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解． D. 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图形重合． 3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是 （ A. ） 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 这个几何体共有 3 层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个 数，以及第三层的最多个数，再相加即可． 【详解】解：由题意，由主视图有 3 层，2 列，由左视图可知，第一层最多有 4 个，第二层最多 2 个，第三 层最多 1 个， ∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）； 故选：B． 【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 4.一组从小到大排列 A. 3.6 或 4.2 数据: a ,3,4,4,6( a 为正整数),唯一的众数是 4,则该组数据的平均数是( 的 B. 3.6 或 3.8 C. 3.8 或 4.2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据众数的定义得出正整数 a 的值，再根据平均数的定义求解可得. 【详解】∵数据：a，3，4，4，6（a 为正整数），唯一的众数是 4， ∴a=1 或 2， D. 3.8 或 4.2 ) 当 a=1 时，平均数为 1 3  4  4  6 =3.6； 5 2  3 4 4 6 当 a=2 时，平均数为 =3.8； 5 故选 C． 【点睛】本题主要考查了众数与平均数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出 a 的值是解 题的关键. 5.已知关于 x 的一元二次方程 x 2  (2k  1) x  k 2  2k  0 有两个实数根 x1 ， x2 ，则实数 k 的取值范围是（ ） A. k 1 4 B. 1 k� 4 C. k  4 D. 1 k� 4 且 k �0 【答案】B 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可． 2 2 【详解】解：Q 关于 x 的一元二次方程 x  (2k  1) x  k  2k  0 有两个实数根 x1 ， x2 ， 2  V b  4ac �0, Q a  1, b    2k  1 , c  k 2  2k , �   2k  1 � 1  k 2  2k  �0, � � 4 �� 2 4k �1, 1 k � . 4 故选 B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 6.如图，菱形 ABCD 的两个顶点 A ， C 在反比例函数 y k x 的图象上，对角线 AC ， BD 的交点恰好是 坐标原点 O ，已知 A. B  1,1 5 ， �ABC  120�，则 k 的值是（ ） B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根 据 菱 形 的 性 质 得 到 AC⊥BD ， 根 据 勾 股 定 理 得 到 OB 的 长 ， 利 用 三 角 函 数 得 到 OA 的 长 ， 求 得 ∠AOE=∠BOF=45 �，继而求得点 A 的坐标，即可求解． 【详解】∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BA=AD，AC⊥BD， ∵∠ABC=120 �， ∴∠ABO=60 �， ∵点 B（-1，1）， ∴OB= 1  1  2 ∵ tan 60� 2 2， AO OB ， ∴AO= 2 tan 60� 6， 作 BF⊥ y 轴于 F，AE⊥ x 轴于 E， ∵点 B（-1，1）， ∴OF=BF=1， ∴∠FOB=∠BOF=45 �， ∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90 �， ∴∠AOE=∠BOF=45 �， ∴△AOE 为等腰直角三角形， ∵AO  6， �45 ‫װ‬ ∴AE=OE=AO cos 6 2 2 3， ∴点 A 的坐标为（ 3 ， 3 ）， ∵点 A 在反比例函数 ∴ k  xy  3 y k x 的图象上， ， 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、解直 角三角形、等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． x k 4 7.已知关于 x 的分式方程 x  2 2  x 的解为正数，则 x 的取值范围是（ ） A. C. 8  k  0 k  8 B. D. k  8 k4 且 且 k �2 k �2 【答案】B 【解析】 【分析】 先解分式方程利用 k 表示出 x 的值，再由 x 为正数求出 k 的取值范围即可． 【详解】方程两边同时乘以 x  2 得， x  4  x  2   k  0 ， 解得： x  8k ． 3 ∵ x 为正数， ∴ 8k  0 ，解得 ， k  8 3 ∵ x �2 ， ∴ 8k �2 ，即 ， k �2 3 ∴ k 的取值范围是 k  8 且 k �2 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法， 8.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 OA  6 ， S菱形ABCD  48 ，则 OH 的长为（ ） O ，过点 D 作 DH  AB 于点 H ，连接 OH ，若 B. 8 A. 4 C. 13 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据菱形面积=对角线积的一半可求 BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形， AC �BD =48， ∴AO=CO=6，BO=DO，S 菱形 ABCD= 2 ∴BD=8， ∵DH⊥AB，BO=DO=4， 1 ∴OH= 2 BD=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解 决问题． 9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用 A 种每个 10 元， 少种购买方案（ A. 12 种 B 种每个 20 元， C 种每个 30 元，在 C 200 元钱购买 A 、 B 、 C 三种奖品， 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多 ） B. 15 种 C. 16 种 D. 14 种 【答案】D 【解析】 【分析】 设购买 A 、 B 、 C 三种奖品分别为 x, y, z 个，根据题意列方程得 10 x  20 y  30 z  200 ，化简后根据 x, y , z 均为正整数，结合 C 种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【详解】解：设购买 A 、 B 、 C 三种奖品分别为 x, y, z 个， 根据题意列方程得 即 10 x  20 y  30 z  200 x  2 y  3z  20 ， ， 由题意得 x, y , z 均为正整数． ① 当 z=1 时， ∴ x x  2 y  17 17  y 2 ， ∴y 分别取 1，3，5，7，9，11，13，15 共 8 种情况时，x 为正整数； ② 当 z=2 时， ∴ x x  2 y  14 14  y 2 ， ∴y 可以分别取 2，4，6，8，10，12 共 6 种情况，x 为正整数； 综上所述：共有 8+6=14 种购买方案． 故选：D 【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键． 10.如图，正方形 ABCD a 的边长为 ，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A ， B 重合）， �DAM  45� ，点 F 在射线 AM 上，且 AF  2 BE ， CF 与 AD 相交于点 G ，连接 EC 、 EF 、 EG ．则下列结论：① � 2� 1 a ；③ � ；② 的周长为 � ；④ 的面积的最大值是 � � � 2 � �ECF  45� AEG BE 2  DG 2  EG 2 EAF 1 1 2 BE  a a 3 时， G 是线段 AD 的中点．其中正确的结论是（ ） 8 ；⑤当 A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 如图 1 中，在 BC 上截取 BH=BE，连接 EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可判断①正确；如图 2 中， 延长 AD 到 H，使得 DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可判断②③ 错误；设 BE=x，则 AE=a-x，AF= 2x ，构建二次函数