2020 年湖南省永州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．每个小题只有一个正确选项， 请将正确的选项填涂到答题卡上） 1． （4 分） （2020•永州） −2020 的相反数为 ( A． − 1 2020 B．2020 ) C． −2020 D． 1 2020 2． （4 分） （2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识 安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是 ( A． 注意安全 C． B． D． 必须戴安全帽 ) 水深危险 注意通风 3． （4 分） （2020•永州）永州市现有户籍人口约 635.3 万人，则“现有户籍人口数”用科学 记数法表示正确的是 ( A． 6.353 × 105 人 ) B． 63.53 × 105 人 4． （4 分） （2020•永州）下列计算正确的是 ( C． 6.353 × 106 人 D． 0.6353 × 107 人 ) A． a 2 b + 2ab 2 = 3a 3b3 B． a 6 ÷ a 3 = a2 C． a 6 a 3 = a 9 D． (a 3 )2 = a 5 5． （4 分） （2020•永州）已知一组数据 1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是 ( A．众数是 8 B．平均数是 6 C．中位数是 8 ) D．方差是 9 6． （4 分） （2020•永州）如图，已知 AB = DC ，∠ABC = ∠DCB ，能直接判断 ∆ABC ≅ ∆DCB 的方法是 ( A． SAS ) B． AAS C． SSS 第1页（共34页） D． ASA 7． （4 分） （2020•永州）如图，已知 PA ， PB 是 O 的两条切线， A ， B 为切点，线段 OP 交 O 于点 M ．给出下列四种说法： ① PA = PB ； ② OP ⊥ AB ； ③四边形 OAPB 有外接圆； ④ M 是 ∆AOP 外接圆的圆心． 其中正确说法的个数是 ( A．1 ) B．2 C．3 8． （4 分） （2020•永州）如图，在 ∆ABC 中， EF / / BC ， 21，则 ∆ABC 的面积是 ( A． 91 3 D．4 AE 2 = ，四边形 BCFE 的面积为 EB 3 ) B．25 C．35 第2页（共34页） D．63 9． （4 分） （2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视 图，则它的左视图的面积是 ( A．4 ) B．2 C． 3 D． 2 3 10． （4 分） （2020•永州）已知点 P( x0 ， y0 ) 和直线 = y kx + b ，求点 P 到直线 = y kx + b 的距 离 d 可用公式 d = | kx0 − y0 + b | 1+ k2 计算．根据以上材料解决下面问题：如图， C 的圆心 C 的 坐标为 (1,1) ，半径为 1，直线 l 的表达式为 y = −2 x + 6 ， P 是直线 l 上的动点， Q 是 C 上的 动点，则 PQ 的最小值是 ( A． 3 5 5 B． ) 3 5 −1 5 C． 6 5 −1 5 D．2 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11． （4 分） （2020•永州）函数 y = 1 中，自变量 x 的取值范围是 x−3 4 x + y = 的解是 12． （4 分） （2020•永州）方程组  2 2 x − y = 第3页（共34页） ． ． 13． （4 分） （2020•永州）若关于 x 的一元二次方程 x 2 − 4 x − m = 0 有两个不相等的实数根， 则实数 m 的取值范围是 ． 14． （4 分） （2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行 了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了 50 名学生的测试成绩（百分制），整理 样本数据，得到下表： 成绩 人数 90x100 80x < 90 70x < 80 60x < 70 25 15 5 4 x < 60 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级 600 名学生中，80 分（含 80 分）以上的学生有 15． （4 分） （2020•永州）已知圆锥的底面周长是 积是 π 2 人． 分米，母线长为 1 分米，则圆锥的侧面 平方分米． 16． （4 分） （2020•永州）已知直线 a / / b ，用一块含 30° 角的直角三角板按图中所示的方式 放置，若 ∠1= 25° ，则 ∠2 = ． 第4页（共34页） 17． （4 分） （2020•永州）如图，正比例函数 y = − x 与反比例函数 y = − 6 的图象交于 A ， C x 两点，过点 A 作 AB ⊥ x 轴于点 B ，过点 C 作 CD ⊥ x 轴于点 D ，则 ∆ABD 的面积为 ． 18． （4 分） （2020•永州） ∠AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 ∠AOB = 60° ，在 ∠AOB 内有一点 P(4,3) ， M ， N 分别是 OA ， OB 边上的动点，连接 PM ， PN ， MN ，则 ∆PMN 周长的最小值是 ． 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 78 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 1 19． （8 分） （2020•永州）计算： 20200 + 3 8 sin 30° − ( )−1 ． 2 20． （8 分） （2020•永州）先化简，再求值： ( a + 2 a 2 − 2a + 1 1 − 2  2 )(a + 2) ，其中 a = 2 ． a + 1 a − 1 a + 4a + 4 第5页（共34页） 21． （8 分） （2020•永州）今年 6 月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛 后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为 A ，B ，C ，D 四个等级，A : 90 < S100 ， B : 80 < S90 ， C : 70 < S80 ， D : S70 ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中 所给信息，解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中 m = ，n = ， B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得 A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知 识竞赛，已知这四人中有两名男生（用 A1 ， A2 表示），两名女生（用 B1 ， B2 表示） ，请利用 树状图法或列表法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率． 22． （10 分） （2020•永州）一艘渔船从位于 A 海岛北偏东 60° 方向，距 A 海岛 60 海里的 B 处 出发，以每小时 30 海里的速度沿正南方向航行．已知在 A 海岛周围 50 海里水域内有暗 礁． （参考数据： 3 ≈ 1.73 ， 5 ≈ 2.24 ， 7 ≈ 2.65) （1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行 3 小时后到达 C 处，求 A ， C 之间的距离． 第6页（共34页） 23． （10 分） （2020•永州）某药店在今年 3 月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性 医用外科口罩和 N 95 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费 1600 元， N 95 口罩花费 9600 元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比 N 95 口罩的单价少 10 元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和 N 95 口罩的单价各是多少元？ （2）该药店计划再次购进两种口罩共 2000 只，预算购进的总费用不超过 1 万元，问至少购 进一次性医用外科口罩多少只？ 第7页（共34页） 24． （10 分） （2020•永州）如图， ∆ABC 内接于 O ， AB 是 O 的直径， BD 与 O 相切于 点 B ， BD 交 AC 的延长线于点 D ， E 为 BD 的中点，连接 CE ． （1）求证： CE 是 O 的切线． （2）已知 BD = 3 5 ， CD = 5 ，求 O ， E 两点之间的距离． 第8页（共34页） 25． （12 分） （2020•永州）在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角 ∆ABC 的直角顶点 C 在 y 轴 上，另两个顶点 A ， B 在 x 轴上，且 AB = 4 ，抛物线经过 A ， B ， C 三点，如图 1 所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式． （2）过原点任作直线 l 交抛物线于 M ， N 两点，如图 2 所示． ①求 ∆CMN 面积的最小值． 3 ②已知 Q(1, − ) 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 P ，使得点 P 与点 Q 关于直线 l 2 对称，若存在，求出点 P 的坐标及直线 l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 第9页（共34页） 26． （12 分） （2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张 宽为 6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积． 如图 1 所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 45° 的角，将该纸条从右往左平移． （1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状． （2）当重叠部分的形状为如图 2 所示的四边形 ABCD 时，求证：四边形 ABCD 是菱形． （3）设平移的距离为 xcm(0 < x6 + 6 2) ，两张纸条重叠部分的面积为 scm 2 ．求 s 与 x 的函 数关系式，并求 s 的最大值． 第10页（共34页） 2020 年湖南省永州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．每个小题只有一个正确选项， 请将正确的选项填涂到答题卡上） 1． （4 分） （2020•永州） −2020 的相反数为 ( A． − 1 2020 B．2020 ) C． −2020 D． 1 2020 【考点】14：相反数 【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案． 【解答】解： −2020 的相反数为：2020． 故选： B ． 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． 2． （4 分） （2020•永州