2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代 号涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）下列各数中是负数的是（　　） A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3） D． 2．（3 分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约 24000 人，24000 用科 学记数法表示为（　　） A．0.24×105 B．2.4×104 C．2.4×103 D．24×103 C．2a+3a＝6a D．2a•3a＝6a2 4．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．a6÷a3＝a2 B．（a2）3＝a5 5．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+c＝0 有两个相等的实数根，则 c＝（　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣4 6．（3 分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施 的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁 3 号线南延至湘潭北站，往返长潭两地 又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调 查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的 是（　　） A．平均数是 8 B．众数是 11 C．中位数是 2 第 1 页（共 29 页） D．极差是 10 7．（3 分）如图，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD 的位置，若∠AOB＝40°，则 ∠AOD＝（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 8．（3 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家 小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣 120 个物件所用的 时间与小江分拣 90 个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣 20 个物件． 若设小江每小时分拣 x 个物件，则可列方程为（　　） A． C． ＝ B． ＝ D． ＝ ＝ 二、填空题（本大题共 8 小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分） 9．（3 分）函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是　 　． 10．（3 分）若 a+b＝5，a﹣b＝3，则 a2﹣b2＝　 　． 11．（3 分）为庆祝新中国成立 70 周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪” 活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中 的机会均等，则选出的恰为女生的概率是　 　． 12．（3 分）计算：（ ）﹣1＝　 　． 13．（3 分）将一次函数 y＝3x 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的函数表达式为　 　． 14．（3 分）四边形的内角和是　 　． 15．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，若 AB＝CD，则添加一个条件　 　，能得到平行 四边形 ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可） 第 2 页（共 29 页） 16．（3 分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田 面积所用的经验公式是：弧田面积＝ （弦×矢+矢 2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围 成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的 距离之差，运用垂径定理（当半径 OC⊥弦 AB 时，OC 平分 AB）可以求解．现已知弦 AB＝8 米，半径等于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为　 　平方米． 三、解答题（本大题共 10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答 过程写在答题卡相应位置上，满分 72 分） 17．（6 分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（6 分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以 外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2） 立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2） 第 3 页（共 29 页） 根据材料和已学知识，先化简，再求值： ﹣ ，其中 x＝3． 19．（6 分）我国于 2019 年 6 月 5 日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射 技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点 M 处垂直海面发射，当火 箭到达点 A 处时，海岸边 N 处的雷达站测得点 N 到点 A 的距离为 8 千米，仰角为 30°． 火箭继续直线上升到达点 B 处，此时海岸边 N 处的雷达测得 B 处的仰角增加 15°，求此 时火箭所在点 B 处与发射站点 M 处的距离．（结果精确到 0.1 千米）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 20．（6 分）每年 5 月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的 心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体 2000 名师生进行了心理测评 随机抽取 20 名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析： ① 数据收集：抽取的 20 名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，96，98，84，65， 73，54，83，76，70，85，83，63，92，90． ② 数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 第 4 页（共 29 页） 分数 x 90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60 人数 5 a 5 2 1 等第 A B C D E ③ 数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： ④ 依据统计信息回答问题 （1）统计表中的 a＝　 　． （2）心理测评等第 C 等的师生人数所占扇形的圆心角度数为　 　． （3）学校决定对 E 等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少 师生需要参加团队心理辅导？ 21．（6 分）如图，将△ABC 沿着 AC 边翻折，得到△ADC，且 AB∥CD． （1）判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由； （2）若 AC＝16，BC＝10，求四边形 ABCD 的面积． 22．（6 分）2018 年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考 方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加 选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考 （1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关， 例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法） （2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和 第 5 页（共 29 页） 生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等， 请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率． 23．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴的正半轴交于 A、B 两点，与 y 轴的 正半轴相切于点 C，连接 MA、MC，已知⊙M 半径为 2，∠AMC＝60°，双曲线 y＝ （x ＞0）经过圆心 M． （1）求双曲线 y＝ 的解析式； （2）求直线 BC 的解析式． 24．（8 分）湘潭政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等 特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 A、B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况， A 种湘莲礼盒进价 72 元/盒，售价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒， 这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为 2800 元，平均每天的总利润为 1280 元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和 销量不变，当 A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大， 最大是多少元？ 第 6 页（共 29 页） 25．（10 分）如图一，抛物线 y＝ax2+bx+c 过 A（﹣1，0）B（3.0）、C（0， ）三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若 y1≤y2，求 P 点横坐标 x1 的取值 范围； （3）如图二，过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 E，该抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，连结 CD、CB，点 F 为线段 CB 的中点，点 M、N 分别为直线 CD 和 CE 上的动点， 求△FMN 周长的最小值． 第 7 页（共 29 页） 26．（10 分）如图一，在射线 DE 的一侧以 AD 为一条边作矩形 ABCD，AD＝5 ，CD＝ 5，点 M 是线段 AC 上一动点（不与点 A 重合），连结 BM，过点 M 作 BM 的垂线交射线 DE 于点 N，连接 BN． （1）求∠CAD 的大小； （2）问题探究：动点 M 在运动的过程中， ① 是否能使△AMN 为等腰三角形，如果能，求出线段 MC 的长度；如果不能，请说明 理由． ②∠MBN 的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN 的大小；若改变，请说明理由． （3）问题解决： 如图二，当动点 M 运动到 AC 的中点时，AM 与 BN 的交点为 F，MN 的中点为 H，求线 段 FH 的长度． 第 8 页（共 29 页） 2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代 号涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）下列各数中是负数的是（　　） A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3） D． 【分析】根据负数的定义可得 B 为答案． 【解答】解：﹣3 的绝对值＝3＞0； ﹣3＜0； ﹣（﹣3）＝3＞0； ＞0． 故选：B． 【点评】本题运用了负数的定义来解决问题，关键是要有数感． 2．（3 分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误； B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误； C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确； D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误； 第 9 页（共 29 页） 故选：C． 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注