湖南省常德市 2021 年中考数学试卷 一、选择题 1. 4 的倒数是（ ） 1 A. 4 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据互为倒数的两个数的乘积是 1，求出 4 的倒数是多少即可． 【详解】解：4 的倒数是： 1 1÷4= 4 ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一个数的倒数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个 数的乘积是 1． 2. 若 a  b ，下列不等式不一定成立的是（ A. a  5  b  5 ） B. 5a  5b a b  C. c c D. a  c  b  c 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A.在不等式 a  b 两边同时减去 5，不等式仍然成立，即 a  5  b  5 ，故选项 A 不符合题意； B. 在不等式 ab 两边同时除以-5，不等号方向改变，即 a C.当 c≤0 时，不等得到 c  5a  5b ，故选项 B 不符合题意； b c ，故选项 C 符合题意； D. 在不等式 a  b 两边同时加上 c，不等式仍然成立，即 a  c  b  c ，故选项 D 不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质运用的，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键． 3. 一个多边形的内角和是 1800°，则这个多边形是（　　）边形． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据 n 边形的内角和是（n﹣2）×180 �，根据多边形的内角和为 1800 �，就得到一个关于 n 的方 程，从而求出边数． 【详解】根据题意得：（n﹣2）×180 �=1800 �， 解得：n=12． 故选：D． 【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知 n 边形的内角和是（n﹣2）×180 �． 4. 下列计算正确的是（ ） A. a 3 � a2  a6 B. a 2  a 2  a 4   C. a 3 2 a 5 a3  a ( a �0) D. a 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂 乘除法、幂的乘方及合并同类项可直接进行排除选项． 的 a  a 原计算错误，该选项不符合题意； 【详解】A、 a � 3 B、 a 2  a 2  2a 2   C、 a 3 2 2 5 原计算错误，该选项不符合题意；  a 6 原计算错误，该选项不符合题意； a3  a ( a �0) 正确，该选项符合题意； D、 a 2 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂 乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的 的 乘方及合并同类项是解题的关键． 5. 舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情 况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从 当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统 计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．正确统计步骤的顺序是（ A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→② C. ①→②→④→③ D. ②→④→③→① 【答案】D ） 【解析】 【分析】根据数据的收集、整理、制作拆线统计图及根据统计图分析结果的步骤可得答案． 【详解】解：将用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况的步骤如下： ② 从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录； ④ 整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表． ③ 按统计表的数据绘制折线统计图； ① 从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势； 所以，正确统计步骤的顺序是②→④→③→① 故选：D． 【点睛】本题考查拆线统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和拆线统计图的制作 步骤 � 5 1 6. 计算： � � 2 � 5 1  1�� （ ） 2 � A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案． � 5 1 【详解】解： � � � 2 = � 5 1  1� � � � 2 5 1 5 1 � 2 2 5 1 = 2 =2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键． 7. 如图，已知 F、E 分别是正方形 是（ ） ABCD 的边 AB 与 BC 的中点， AE 与 DF 交于 P．则下列结论成立的 A. BE  1 AE 2 B. PC  PD C. �EAF  �AFD  90� D. PE  EC 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∵已知 F、E 分别是正方形 ABCD 的边 AB 与 BC 的中点， 1 1 1 ∴BE= 2 BC= 2 AB< 2 AE，故 A 选项错误，不符合题意； 在△ABE 和△DAF 中， AB  DA � � �ABE  �DAF  90�， � � BE  FA � ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠BAE=∠ADF， ∵∠ADF+∠AFD=90°， ∴∠BAE+∠AFD =90°， ∴∠APF=90°， ∴∠EAF+∠AFD=90°，故 C 选项正确，符合题意； 连接 FC， 同理可证得△CBF≌△DAF（SAS）， ∴∠BCF=∠ADF， ∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即 90°-∠BCF=90°-∠ADF， ∴∠PDC=∠FCD>∠PCD， ∴PC>PD，故 B 选项错误，不符合题意； ∵AD>PD， ∴CD>PD， ∴∠DPC>∠DCP， ∴90°-∠DPC<90°-∠DCP， ∴∠CPE<∠PCE， ∴PE> CE，故 D 选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很 强，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 8. 阅读理解：如果一个正整数 m 能表示为两个正整数 a，b 的平方和，即 m  a 2  b2 ，那么称 m 为广义勾 股数．则下面的四个结论：① 7 不是广义勾股数；② 13 是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股 数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ A. ②④ B. ①②④ ） C. ①② D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据有理数乘方、有理数加法的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵ 7  1  6 或 2  5 或 3  4 ∴7 不是广义勾股数，即①正确； ∵ 13  4  9  22  32 ∴13 是广义勾股数，即②正确； ∵ 5  12  2 2 ， 10  12  32 ， 15 不是广义勾股数 ∴③ 错误； ∵ 5  12  2 2 ， 13  2 2  32 ， 65  5 �13 ，且 65 不是广义勾股数 ∴④ 错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘方、有理数加法的性质，从而完 成求解． 二、填空题 9. 求不等式 2x  3  x 的解集_________． 【答案】 x  3 【解析】 【分析】直接移项合并同类项即可得出． 【详解】解： 2 x  3  x ， 移项解得： 故答案是： x3 x3 ， ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：熟练掌握移项合并同类项等步骤． 10. 今年 5 月 11 日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口 141178 万人．用科学 计数法表示此数为___________人． 10 【答案】 1.41178 � 9 【解析】 【分析】把 141178 万写成 1411780000 ，然后再按科学计数法表示出来；“万”代表 4 个 0． 10 ． 【详解】 141178 万  1411780000=1.41178 � 9 故答案为： 1.41178 �109 ． 【点睛】本题考查了科学计数法，根据科学记数法的表示形式准确的表示出原数是解题关键．科学记数法 的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原来的数，变成 a 时，小 数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 11. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于 90 分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班． 甲 人 平均 中位 数 数 数 45 82 91 方差 19.3 班 乙 班 45 87 89 5.8 【答案】甲． 【解析】 【分析】班级人数相同，都为 45 人，中位数为班级分数排序以后的第 23 位同学的分数，甲班的 91 分高于 乙班 89 分，则得出答案． 【详解】解：甲、乙两个班参赛人数都为 45 人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等 于 23 人，乙班的小于等于 22 人，则甲班的优生人数较多， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查数据的分析，根据平均分、中位数、方差的特点进行分析，本题的解题关键在于掌 握中位数的特点． 1 1 x2   12. 分式方程 x x  1 x ( x  1) 的解为__________． 【答案】 x  3 【解析】 【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出 x 后，再检验即可． 【详解】解： 1 1 x2   x x  1 x ( x  1) 2x 1 x2  通分得： x( x  1) x ( x  1) ， x 3 0 移项得： x  x  1 ， x3 0 解得： ， x3 经检验， x