2021 年湖南省永州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，每个小题只有一个正确选项， 请将正确的选项填涂到答题卡上） 1．（4 分）（2021•永州）﹣|﹣2021|的相反数为（　　） A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D． 2．（4 分）（2021•永州）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转 180°后所得到的图案是（ ） A． B． C． D． 3．（4 分）（2021•永州）据永州市 2020 年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居 民人均可支配收入约为 24000 元，比上年增长 6.5%（　　） A．24×103 B．2.4×104 C．2.4×105 D．0.24×105 4．（4 分）（2021•永州）已知一列数据：27，12，12，5，7，5．该列数据的众数是（　　） A．27 B．12 C．7 D．5 5．（4 分）（2021•永州）下列计算正确的是（　　） A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝ C． ＝±2 第 1 页（共 21 页） D．a2•a3＝a6 6．（4 分）（2021•永州）在一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（ 　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（4 分）（2021•永州）如图，在△ABC 中，AB＝AC，B 为圆心，大于 ，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 分别交 BC、AB 于点 D 和点 E，则∠CAD 的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．（4 分）（2021•永州）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八， 盈三，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，则多了 4 元；如果每人出 6 元，问组团人数和物价各是多少？若设 x 人参与组团，物价为 y 元（ ） A． B． C． D． 9．（4 分）（2021•永州）小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东 安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭 典”的概率为（　　） A． B． C． D． 10．（4 分）（2021•永州）定义：若 10x＝N，则 x＝log10N，x 称为以 10 为底的 N 的对数，简 记为 lgN（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为 102 ＝100，所以 2＝lg100，亦即 lg100＝ 2，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5 的结果为（　　） 第 2 页（共 21 页） A．5 B．2 C．1 D．0 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分，请将答案填在答题卡的答案栏 内） 11．（4 分）（2021•永州）在 0， ，﹣0.101001，π， 12．（4 分）（2021•永州）已知二次根式 中无理数的个数是 　 　个． 有意义，则 x 的取值范围是 　 　． 13 ． （ 4 分 ） （ 2021• 永 州 ） 请 写 出 一 个 图 象 在 第 二 、 四 象 限 的 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ： ． 14．（4 分）（2021•永州）某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行 体育技能测试．其中 A 班甲、乙两位同学 6 个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数） 折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，从两人成绩的稳定性考虑，请你决 策 A 班应该选择的同学是 　 　． 15．（4 分）（2021•永州）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为 60π，底面半径为 6 的圆锥模型（如图所示）　 　． 16．（4 分）（2021•永州）如图，A，B 两点的坐标分别为 A（4，3），B（0，﹣3），在 x 轴 上找一点 P，则点 P 的坐标是 　 　． 第 3 页（共 21 页） 17．（4 分）（2021•永州）已知函数 y＝ ，若 y＝2，则 x＝　 　． 18．（4 分）（2021•永州）若 x，y 均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则： （1）43xy•47xy＝（ 　 （2） + ＝　 　）x+y； 　． 三、解答题（共 8 小题，满分 78 分） 19．（8 分）（2021•永州）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中 x＝1． 20．（8 分）（2021•永州）若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，则 x1+x2 ＝﹣ ，x1•x2＝ ．现已知一元二次方程 px2+2x+q＝0 的两根分别为 m，n． （1）若 m＝2，n＝﹣4，求 p； （2）若 p＝3，q＝﹣1，求 m+mn+n 的值． 21．（8 分）（2021•永州）为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校组织全校学生进行了一场党 史知识竞赛活动，根据竞赛结果（得分均为正整数，满分为 100 分，大于 80 分的为优秀） 进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表． 200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表 A B C D 请结合图表解决下列问题： （1）频数表中，a＝　 　，b＝　 　； （2）请将频数分布直方图补充完整； 第 4 页（共 21 页） （3）抽取的 200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 　 　组； （4）若该校共有 1000 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数． 22．（10 分）（2021•永州）如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上，AE＝BF，AE∥BF． （1）求证：△AEC≌△BFD． （2）判断四边形 DECF 的形状，并证明． 23．（10 分）（2021•永州）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需 求，计划在 2022 年将 30 亩土地全部用于种植 A、B 两种经济作物．预计 B 种经济作物亩产 值比 A 种经济作物亩产值多 2 万元，B 种经济作物年总产值 30 万元的目标，问：2022 年 A、B 两种经济作物应各种植多少亩？ 24．（10 分）（2021•永州）已知锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，边角总 满足关系式： ＝ ＝ ． （1）如图 1，若 a＝6，∠B＝45°，求 b 的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 ABC 中建一座小型景观桥 CD（如图 2 所示）， 第 5 页（共 21 页） 若 CD⊥AB，AC＝14 米，sin∠ACB＝ ，求景观桥 CD 的长度． 25．（12 分）（2021•永州）如图 1，AB 是⊙O 的直径，点 E 是⊙O 上一动点，B 两点重合， ∠EAB 的平分线交⊙O 于点 C，交 AE 的延长线于点 D． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求证：AC2＝2AD•AO； （3）如图 2，原有条件不变，连接 BE，延长 AB 至点 M，∠EBM 的平分线交 AC 的延长线 于点 P，总有∠P＝∠Q． 26．（12 分）（2021•永州）已知关于 x 的二次函数 y1＝x2+bx+c（实数 b，c 为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为 x＝1，求此二次函数的表达式； （2）若 b2﹣c＝0，当 b﹣3≤x≤b 时，二次函数的最小值为 21； （3）记关于 x 的二次函数 y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，总有 y2≥y1，求实数 m 的最 小值． 第 6 页（共 21 页） 2021 年湖南省永州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，每个小题只有一个正确选项， 请将正确的选项填涂到答题卡上） 1．（4 分）（2021•永州）﹣|﹣2021|的相反数为（　　） A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D． 【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021， ∴﹣2021 的相反数为 2021． 故选：B． 2．（4 分）（2021•永州）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转 180°后所得到的图案是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，得到的图形全等，阴影部分的等腰三角形的顶 点向下． 故选：C． 3．（4 分）（2021•永州）据永州市 2020 年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居 民人均可支配收入约为 24000 元，比上年增长 6.5%（　　） 第 7 页（共 21 页） A．24×103 B．2.4×104 C．2.4×105 D．0.24×105 【解答】解：24000＝2.4×106． 故选：B． 4．（4 分）（2021•永州）已知一列数据：27，12，12，5，7，5．该列数据的众数是（　　） A．27 B．12 C．7 D．5 【解答】解：这组数据中出现次数最多的是 12，共出现 3 次， 故选：B． 5．（4 分）（2021•永州）下列计算正确的是（　　） A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝ C． D．a2•a3＝a6 ＝±2 【解答】解：A．因为 π﹣3≠08＝1，因此选项 A 符合题意； B．tan30°＝ C. ； ＝2； D．a5•a3＝a2+7＝a5，因此选项 D 不符合题意； 故选：A． 6．（4 分）（2021•永州）在一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（ 　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解： ∵解不等式①得：x＞﹣7.5， 解不等式②得：x≤5， ∴不等式组的解集为﹣7.5＜x≤5， ∴不等式组的整数解为 8，1，2，2，4，5，共 2 个， 故选：C． 7．（4 分）（2021•永州）如图，在△ABC 中，AB＝AC，B 为圆心，大于 ，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 分别交 BC、AB 于点 D 和点 E，则∠CAD 的度数是（　　） 第 8 页（共 21 页） A．30° B．40° C．50° D．60° 【解答】解：由作法得 MN 垂直平分 AB， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°． 故选：A． 8．（4 分）（2021•永州）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八， 盈三，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，则多了