2021 年湖北省荆门市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题中均给出了四个答案,其中有 且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上) 1．2021 的相反数的倒数是（　　） A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D． 2．“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计 投资 1.102×108 元资金．数据 1.012×108 用科学记数法可表示为（　　） A．10.12 亿 B．1.012 亿 C．101.2 亿 D．1012 亿 3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后， “红”字的面的对面上的字 是（　　） A．传 B．国 C．承 D．基 5．下列运算正确的是（　　） A．（﹣x3）2＝x5 B． C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1 ＝x 6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四 尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳 子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量，木条还剩余 1 尺；问长木多少尺？如果设木条长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，将一副三角板在平行四边形 ABCD 中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ） A．55° B．65° C．75° D．85° 8．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（　　） A．30° B．35° 9．在同一直角坐标系中，函数 y＝kx﹣k 与 y＝ C．45° D．55° （k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 10．抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数）开口向下且过点 A（1，0），B（m，0）（﹣2 ＜m＜﹣1），下列结论：① 2b+c＞0；② 2a+c＜0；③ a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程 a（x﹣m）（x﹣1 ）﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则 4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的 个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分,请将结果填写在答题卡相应位置) 11．计算：|1﹣ |+（ ）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝　 12．把多项式 x3+2x2﹣3x 因式分解，结果为 　 　． 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 斜边上的高为 1，∠AOB＝30°，将 Rt△OAB 绕 原点顺时针旋转 90°得到 Rt△OCD，点 A 的对应点 C 恰好在函数 y＝ （k≠0）的图象上， 若在 y＝ 的图象上另有一点 M 使得∠MOC＝30°，则点 M 的坐标为 　 　． 14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，分别以 B，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相 交于点 P，那么图中阴影部分的面积为 　 15．关于 x 的不等式组 　． 恰有 2 个整数解，则 a 的取值范围是 　 　． 16．如图，将正整数按此规律排列成数表，则 2021 是表中第 　 　行第 　 　列． 三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分,请在答题卡相应区域作答) 17．（8 分）先化简，再求值： •（ ﹣ ），其中 x＝3﹣ ． 18．（8 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞 赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为 A、B、C、D 四个等级，其等级对应的分值分别为 100 分、90 分、80 分、70 分，将这 两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图． （1）这次预赛中，二班成绩在 B 等及以上的人数是多少？ （2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数； （3）已知一班成绩 A 等的 4 人中有两个男生和 2 个女生，二班成绩 A 等的都是女生， 年级要求从这两个班 A 等的学生中随机选 2 人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能 性相等，求抽取的 2 人中至少有 1 个男生的概率． 19 ． （ 8 分 ） 如 图 ， 点 E 是 正 方 形 ABCD 的 边 BC 上 的 动 点 ， ∠ AEF ＝ 90° ， 且 EF ＝ AE，FH⊥BH． （1）求证：BE＝CH； （2）若 AB＝3，BE＝x，用 x 表示 DF 的长． 20．（8 分）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 10（3+ ）海里的圆形海域内 有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60°的方向上，当海 监船行驶 20 海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东 45°方向上． （1）求 A，P 之间的距离 AP； （2）若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险， 那么海监船由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？ 21．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+2m﹣1＝0 有 x1，x2 两实数根． （1）若 x1＝1，求 x2 及 m 的值； （2）是否存在实数 m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝ ？若存在，求出实数 m 的值；若 不存在，请说明理由． 22．（10 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，点 E 在 BC 边上，过 A，C，E 三点的⊙O 交 AB 边于另一点 F，且 F 是 的中点，AD 是⊙O 的一条直径，连接 DE 并延长交 AB 边于 M 点． （1）求证：四边形 CDMF 为平行四边形； （2）当 CD＝ AB 时，求 sin∠ACF 的值． 23．（10 分）某公司电商平台，在 2021 年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经 市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件）的一次函数，如表 仅列出了该商品的售价 x，周销售量 y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据． x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100 （1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若该商品进价 a（元/件），售价 x 为多少时，周销售利润 W 最大？并求出此时的 最大利润； （3）因疫情期间，该商品进价提高了 m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定 该商品售价 x 不得超过 55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满 足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是 4050 元，求 m 的值． 24．（12 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，交 y 轴 于点 C（0，﹣3），点 Q 为线段 BC 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求|QO|+|QA|的最小值； （3）过点 Q 作 PQ∥AC 交抛物线的第四象限部分于点 P，连接 PA，PB，记△PAQ 与 △PBQ 面积分别为 S1，S2，设 S＝S1+S2，求点 P 坐标，使得 S 最大，并求此最大值． 2021 年湖北省荆门市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题中均给出了四个答案,其中有 且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上) 1．2021 的相反数的倒数是（　　） A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D． 【分析】先求出 2021 的相反数，再求这个数的倒数即可． 【解答】解：2021 的相反数是﹣2021， ﹣2021 的倒数是﹣ ， 故选：C． 2．“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计 投资 1.102×108 元资金．数据 1.012×108 用科学记数法可表示为（　　） A．10.12 亿 B．1.012 亿 C．101.2 亿 D．1012 亿 【分析】确定出原数中整数位数，然后再确定其中 0 的个数即可． 【解答】解：数据 1.102×108 用科学记数法可表示为：1.102×108＝110200000＝1.012 亿， 故选：B． 3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后， “红”字的面的对面上的字 是（　　） A．传 B．国 C．承 D．基 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “传”与“因”是相对面， “承”与“色”是相对面， “红”与“基”是相对面． 故选：D． 5．下列运算正确的是（　　） A．（﹣x3）2＝x5 B． C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1 ＝x 【分析】根据有理数乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解． 【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意． B. ＝|x|，错误，不满足题意． C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意． D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意． 故选：D． 6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四 尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳 子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量，木条还剩余 1 尺；问长木多少尺？如果设木条长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5； 绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案． 【解答】解：设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为： ． 故选：A． 7．如图，将一副三角板在平行四边形 ABCD 中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ） A．