2012 年山东省威海市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选，均不得分） 1．（3 分）64 的立方根是（　　） A．8 B．±8 C．4 D．±4 2．（3 分）2012 年是威海市实施校安全工程 4 年规划的收官年，截止 4 月底，全市已开工 项目 39 个，投入资金 4999 万元，请将 4999 万用科学记数法表示（保留两个有效数字） （　　） A．4999×104 B．4.999×107 C．4.9×107 D．5.0×107 3．（3 分）如图，a∥b，点 A 在直线 a 上，点 C 在直线 b 上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1 ＝20°，则∠2 的度数为（　　） A．25° B．65° C．70° D．75° 4．（3 分）下列运算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．a5+a5＝a10 C．a÷a﹣2＝a3 D．（﹣3a）2＝﹣9a2 5．（3 分）如图所示的机器零件的左视图是 （　　） A． 6．（3 分）函数 y＝ A．x＞3 B． C． D． 的自变量 x 的取值范围是（　　） B．x≥3 C．x≠3 第 1 页（共 27 页） D．x＜﹣3 7．（3 分）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听 454 克，现抽去 10 听样品进 行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：﹣10，+5，0，+5，0，0， ﹣5，0，+5，+10．则这 10 听罐头质量的平均数及众数为（　　） A．454，454 B．455，454 8．（3 分）化简 A． C．454，459 D．455，0 C． D． 的结果是（　　） B． 9．（3 分）下列选项中，阴影部分面积最小的是（　　） A． B． C． D． 10．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AE，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条 件，仍无法判断四边形 AECF 为菱形的是（　　） A．AE＝AF B．EF⊥AC C．∠B＝60° D．AC 是∠EAF 的平分线 11．（3 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） 第 2 页（共 27 页） A．abc＞0 B．3a＞2b C．m（am+b）≤a﹣b（m 为任意实数） D．4a﹣2b+c＜0 12．（3 分）向一个图案如图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区 域的概率为（　　） A． B． C．1﹣ D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求填出最后结果） 13．（3 分）计算： ＝　 　． 14．（3 分）分解因式：3x2y+12xy2+12y3＝　 　． 15．（3 分）如图，直线 l1，l2 交于点 A，观察图象，点 A 的坐标可以看作方程组　 　的 解． 16．（3 分）若关于 x 的方程 x2+（a﹣1）x+a2＝0 的两根互为倒数，则 a＝　 　． 17 ． （ 3 分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， △ ABC 的 顶 点 坐 标 分 别 为 （ 4 ， 0 ） ， 第 3 页（共 27 页） （8，2），（6，4）．已知△A1B1C1 的两个顶点的坐标为（ 1，3），（2，5），若 △ABC 与△A1B1C1 位似，则△A1B1C1 的第三个顶点的坐标为　 　． 18．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，线段 OA1＝1，OA1 与 x 轴的夹角为 30°，线段 A1A2＝1，A2A1⊥OA1，垂足为 A1；线段 A2A3＝1，A3A2⊥A1A2，垂足为 A2；线段 A3A4＝ 1，A4A3⊥A2A3，垂足为 A3；…按此规律，点 A2012 的坐标为　 　． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．（7 分）解不等式组，并把解集表示在数轴上： ． 20 ． （ 8 分 ） 如 图 ， AB 为 ⊙ O 的 直 径 ， 弦 CD⊥AB ， 垂 足 为 点 E ． K 为 上一动点， AK，DC 的延长线相交于点 F，连接 CK，KD． （1）求证：∠AKD＝∠CKF； （2）若 AB＝10，CD＝6，求 tan∠CKF 的值． 第 4 页（共 27 页） 21．（9 分）某市为提高学生参与体育活动的积极性，2011 年 9 月围绕“你最喜欢的体育运 动项目（只写一项）”这一问题，对初一新生进行随机抽样调查，下图是根据调查结果 绘制成的统计图（不完整）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是多少？ （2）根据条形统计图中的数据，求扇形统计图中“最喜欢足球运动”的学生数所对应扇 形的圆心角度数． （3）请将条形统计图补充完整． （4）若该市 2011 年约有初一新生 21000 人，请你估计全市本届学生中“最喜欢足球运 动”的学生约有多少人． 22．（9 分）小明计划用 360 元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中 选购部分图书．“六一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书 8 折销售．这样，小明比 原计划多买了 6 本．求每本书的原价和小明实际购买图书的数量． 23．（10 分）（1）如图①，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，直线 EF 过点 O，分别 交 AD，BC 于点 E，F． 求证：AE＝CF． （2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1 处， 点 B 落在点 B1 处，设 FB1 交 CD 于点 G，A1B1 分别交 CD，DE 于点 H，I． 求证：EI＝FG． 第 5 页（共 27 页） 24．（11 分）探索发现 已知：在梯形 ABCD 中，CD∥AB，AD，BC 的延长线相交于点 E，AC，BD 相交于点 O，连接 EO 并延长交 AB 于点 M，交 CD 于点 N． （1）如图①，如果 AD＝BC，求证：直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线． （2）如图②，如果 AD≠BC，那么线段 AM 与 BM 是否相等？请说明理由． 学以致用 仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形 ABCD 的一条对称轴．（写出作图步骤， 保留作图痕迹） 25 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y ＝ ax2+bx+c （ a≠0 ） 的 顶 点 为 B（2，1），且过点 A（0，2），直线 y＝x 与抛物线交于点 D，E（点 E 在对称轴的右 侧），抛物线的对称轴交直线 y＝x 于点 C，交 x 轴于点 G，EF⊥x 轴，垂足为点 F，点 P 在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x 轴，垂足为点 M，△PCM 为等边三角形． 第 6 页（共 27 页） （1）求该抛物线的表达式； （2）求点 P 的坐标； （3）试判断 CE 与 EF 是否相等，并说明理由； （4）连接 PE，在 x 轴上点 M 的右侧是否存在一点 N，使△CMN 与△CPE 全等？若存 在，试求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 7 页（共 27 页） 2012 年山东省威海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选，均不得分） 1．【分析】如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 是 a 的立方根，根据此定义求解即可． 【解答】解：∵4 的立方等于 64， ∴64 的立方根等于 4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个 数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数 的立方根与原数的性质符号相同． 2．【分析】较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字， 要在标准形式 a×10n 中 a 的部分保留，从左边第一个不为 0 的数字数起，需要保留几位 就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 【解答】解：4999 万＝4999×104＝4.999×107≈5.0×107． 故选：D． 【点评】本题考查了科学记数法与有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的 计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 3．【分析】根据等腰直角三角形性质求出∠ACB，求出∠ACE 的度数，根据平行线的性质 得出∠2＝∠ACE，代入求出即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠1＝20°， ∴∠ACE＝20°+45°＝65°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ACE＝65°， 故选：B． 第 8 页（共 27 页） 【点评】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质，关键是求 出∠ACE 的度数． 4．【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方 的知识求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项错误； B、a5+a5＝2a5，故本选项错误； C、a÷a﹣2＝a1﹣（﹣2）＝a3，故本选项正确； D、（﹣3a）2＝9a2，故本选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积 的乘方的知识．此题比较简单，注意掌握是指数的变化是解此题的关键． 5．【分析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可． 【解答】解：机器零件的左视图是一个矩形．中间有 1 条横着的虚线． 故选：D． 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的 棱用实线表示，看不到的用虚线表示． 6．【分析】一般地从两个角度考虑：分式的分母不为 0；偶次根式被开方数大于或等于 0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 【解答】解：根据题意得到：x﹣3＞0， 解得 x＞3． 故选：A． 【点评】本题考查了函数式有意义的 x 的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑 分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为 非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于 0 混淆． 7．【分析】首先求得﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10 这 10 个数的平均数以及 众数，然后分别加上 454 克，即可求解． 第