2020 年湖南省永州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．每个小题只有一个正确选项， 请将正确的选项填涂到答题卡上） 1．（4 分）（2020•永州） 2020 的相反数为 ( 　　 ) A．  1 2020 C． 2020 B．2020 D． 1 2020 2．（4 分）（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认 识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是 ( 　　 ) 注意安全 A． C． 必须戴安全帽 B． D． 水深危险 注意通风 3．（4 分）（2020•永州）永州市现有户籍人口约 635.3 万人，则“现有户籍人口数”用科学 记数法表示正确的是 ( 　　 ) A． 6.353 �105 人 B． 63.53 �105 人 C． 6.353 �106 人 D． 0.6353 �107 人 4．（4 分）（2020•永州）下列计算正确的是 ( 　　 ) A． a 2b  2ab 2  3a 3b3 B． a 6 �a3  a 2 C． a 6 ga 3  a 9 D． (a 3 ) 2  a 5 5．（4 分）（2020•永州）已知一组数据 1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是 ( 　　 ) A．众数是 8 B．平均数是 6 C．中位数是 8 D．方差是 9 6 ． （ 4 分 ） （ 2020• 永 州 ） 如 图 ， 已 知 AB  DC ， �ABC  �DCB ， 能 直 接 判 断 ABC  DCB 的方法是 ( 　　 ) 第 1 页（共 36 页） A． SAS B． AAS C． SSS D． ASA 7．（4 分）（2020•永州）如图，已知 PA ， PB 是 e O 的两条切线， A ， B 为切点，线段 OP 交 e O 于点 M ．给出下列四种说法： ① PA  PB ； ② OP  AB ； ③ 四边形 OAPB 有外接圆； ④ M 是 AOP 外接圆的圆心． 其中正确说法的个数是 ( 　　 ) A．1 B．2 C．3 8．（4 分）（2020•永州）如图，在 ABC 中， EF / / BC ， D．4 AE 2  ，四边形 BCFE 的面积 EB 3 为 21，则 ABC 的面积是 ( 　　 ) A． 91 3 B．25 C．35 第 2 页（共 36 页） D．63 9．（4 分）（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯 视图，则它的左视图的面积是 ( 　　 ) A．4 B．2 C． 3 D． 2 3 10．（4 分）（2020•永州）已知点 P ( x0 ， y0 ) 和直线 y  kx  b ，求点 P 到直线 y  kx  b 的 距离 d 可用公式 d  | kx0  y0  b | 1 k2 计算．根据以上材料解决下面问题：如图， e C 的圆心 C 的坐标为 (1,1) ，半径为 1，直线 l 的表达式为 y  2 x  6 ， P 是直线 l 上的动点， Q 是 e C 上的动点，则 PQ 的最小值是 ( 　　 ) A． 3 5 5 B． 3 5 1 5 C． 6 5 1 5 D．2 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分．请将答案填在答题卡的答案 栏内） 第 3 页（共 36 页） 11．（4 分）（2020•永州）函数 y  1 中，自变量 x 的取值范围是　　． x3 �x  y  4 12．（4 分）（2020•永州）方程组 � 的解是　 　． �2 x  y  2 13．（4 分）（2020•永州）若关于 x 的一元二次方程 x 2  4 x  m  0 有两个不相等的实数根 则实数 m 的取值范围是　 　． 14．（4 分）（2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进 行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了 50 名学生的测试成绩（百分制），整 理样本数据，得到下表： 成绩 人数 90�x�100 80�x  90 70�x  80 60�x  70 25 15 5 4 x  60 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级 600 名学生中，80 分（含 80 分）以上的学生有　　人． 15．（4 分）（2020•永州）已知圆锥的底面周长是  分米，母线长为 1 分米，则圆锥的侧 2 面积是　　平方分米． 16．（4 分）（2020•永州）已知直线 a / / b ，用一块含 30�角的直角三角板按图中所示的方 式放置，若 �1  25�，则 �2  　　． 第 4 页（共 36 页） 17．（4 分）（2020•永州）如图，正比例函数 y   x 与反比例函数 y   6 的图象交于 A ， x C 两点，过点 A 作 AB  x 轴于点 B ，过点 C 作 CD  x 轴于点 D ，则 ABD 的面积为　　． 18．（4 分）（2020•永州） �AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 �AOB  60�， 在 �AOB 内有一点 P (4,3) ， M ， N 分别是 OA ， OB 边上的动点，连接 PM ， PN ， MN ， 则 PMN 周长的最小值是　　． 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 78 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤） 1 19．（8 分）（2020•永州）计算： 20200  3 8 sin 30� ( ) 1 ． 2 20 ． （ 8 分 ） （ 2020• 永 州 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： ( 1 a  2 a 2  2a  1  2 g2 )g(a  2) ， 其 中 a  1 a  1 a  4a  4 a  2． 第 5 页（共 36 页） 21．（8 分）（2020•永州）今年 6 月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛 后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为 A， B ， C ， D四个等级， A : 90  S�100 ， B : 80  S�90 ， C : 70  S�80 ， D : S�70 ．并绘制了如图两幅不完整的统 计图，请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中 m  　　， n  　　， B 等级所占扇形的圆心角度数为　　． （3）该校准备从上述获得 A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识 竞赛，已知这四人中有两名男生（用 A1 ， A2 表示），两名女生（用 B1 ， B2 表示），请利 用树状图法或列表法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率． 22．（10 分）（2020•永州）一艘渔船从位于 A 海岛北偏东 60�方向，距 A 海岛 60 海里的 B 处出发，以每小时 30 海里的速度沿正南方向航行．已知在 A 海岛周围 50 海里水域内有 暗礁．（参考数据： 3 �1.73 ， 5 �2.24 ， 7 �2.65) （1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行 3 小时后到达 C 处，求 A ， C 之间的距离． 第 6 页（共 36 页） 23．（10 分）（2020•永州）某药店在今年 3 月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次 性医用外科口罩和 N 95 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费 1600 元， N 95 口罩花费 9600 元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比 N 95 口罩的单价 少 10 元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和 N 95 口罩的单价各是多少元？ （2）该药店计划再次购进两种口罩共 2000 只，预算购进的总费用不超过 1 万元，问至少 购进一次性医用外科口罩多少只？ 第 7 页（共 36 页） 24．（10 分）（2020•永州）如图， ABC 内接于 e O ， AB 是 e O 的直径， BD 与 e O 相 切于点 B ， BD 交 AC 的延长线于点 D ， E 为 BD 的中点，连接 CE ． （1）求证： CE 是 e O 的切线． （2）已知 BD  3 5 ， CD  5 ，求 O ， E 两点之间的距离． 第 8 页（共 36 页） 25．（12 分）（2020•永州）在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角 ABC 的直角顶点 C 在 y 轴上，另两个顶点 A ， B 在 x 轴上，且 AB  4 ，抛物线经过 A ， B ， C 三点，如图 1 所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式． （2）过原点任作直线 l 交抛物线于 M ， N 两点，如图 2 所示． ① 求 CMN 面积的最小值． 3 ② 已知 Q(1,  ) 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 P ，使得点 P 与点 Q 关于直线 2 l 对称，若存在，求出点 P 的坐标及直线 l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 第 9 页（共 36 页） 26．（12 分）（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两 张宽为 6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积． 如图 1 所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 45�的角，将该纸条从右往左平 移． （1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状． （2）当重叠部分的形状为如图 2 所示的四边形 ABCD 时，求证：四边形 ABCD 是菱形． （3）设平移的距离为 xcm(0  x�6  6 2) ，两张纸条重叠部分的面积为 scm 2 ．求 s 与 x 的 函数关系式，并求 s 的最大值． 第 10 页（共 36 页） 2020 年湖南省永州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．每个小题只有一个正确选项， 请将正确的选项填涂到答题卡上） 1．（4 分）（2020•永州） 2020 的相反数为 ( 　　 ) A．  1 2020 C． 2020 B．2020 D． 1 2020 【考点】14：相反数 【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案． 【解答】解： 2020 的相反数为：2020． 故选