2019 年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来） 1．（4 分）已知|a|＝1，b 是 2 的相反数，则 a+b 的值为（　　） A．﹣3 C．﹣1 或﹣3 B．﹣1 D．1 或﹣3 2．（4 分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为 0.000073 米，将 0.000073 用科学记数法表示为（　　） A．73×10﹣6 B．0.73×10﹣4 C．7.3×10﹣4 D．7.3×10﹣5 3．（4 分）如图所示，圆锥的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（4 分）一把直尺和一块三角板 ABC（含 30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角 板的两直角边分别交于点 D 和点 E，另一边与三角板的两直角边分别交于点 F 和点 A， 且∠CED＝50°，那么∠BFA 的大小为（　　） A．145° B．140° C．135° 5．（4 分）下列运算正确的是（　　） 第 1 页（共 25 页） D．130° A．（ab）2＝a2b2 B．a2+a2＝a4 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a6 6．（4 分）已知 a+b＝ ，则代数式 2a+2b﹣3 的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣3 7．（4 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一 枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（4 分）如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1， ） C．（ ，1） D．（ ， ） 9．（4 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC 的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 10．（4 分）已知点 P 为某个封闭图形边界上一定点，动点 M 从点 P 出发，沿其边界顺时 针匀速运动一周，设点 M 的运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，表示 y 与 x 的函数图象 大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　） 第 2 页（共 25 页） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。只要求填写最后结果） 11．（4 分）函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围是　 　． 12．（4 分）分式方程 ﹣ ＝0 的解是　 　． 13．（4 分）一组数据 2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数 a 是这组数据中的中位数，则这 组数据的平均数是　 　． 14．（4 分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018 年人均年收入达到 39200 元．则该地区居民年人 均收入平均增长率为　 　．（用百分数表示） 15．（4 分）二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，若 M＝4a+2b，N＝a﹣b．则 M、N 的 大小关系为 M　 　N．（填“＞”、“＝”或“＜”） 16．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点 O，与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，B 点坐标为（0，2 ），OC 与⊙D 交于点 C，∠OCA＝30°，则图中阴影部 分面积为　 　．（结果保留根号和 π） 第 3 页（共 25 页） 17．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，那么 sin∠EFC 的值为　 　． 18．（4 分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律， 第 2019 个图形中共有　 　个〇． 三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分，解答时写出必要的文字说明及演算过程） 19．（10 分）（1）计算：（﹣2）3+ （2）先化简，再求值：（ ﹣2sin30°+（2019﹣π）0+| ﹣1）÷ ﹣4| ，其中 x 的值从不等式组 的整数解中选取． 20．（8 分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取 了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活 动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽查了　 　名学生． （2）请你补全条形统计图． （3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为　 　度． （4）请根据样本数据，估计该校 1200 名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？ 第 4 页（共 25 页） 21 ． （ 10 分 ） 如 图 ， 一 次 函 数 y ＝ kx+b 与 反 比 例 函 数 y ＝ 的图象交于 A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于 M、N 两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出 kx+b﹣ ＞0 中 x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积． 四、解答题（本大题共 50 分解答时写出必要的演算步骤及推理过程） 22．（7 分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1：1，文化 墙 PM 在天桥底部正前方 8 米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定 降低坡度，使新坡面的坡度为 1： ．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732） （1）若新坡面坡角为 α，求坡角 α 度数； （2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由． 23．（10 分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价 10 元/件，已知销售价 第 5 页（共 25 页） 不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该 商品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件 销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24．（10 分）如图，AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D．过点 A 作⊙O 的切 线与 OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段 CF 的长． 25．（10 分）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形 ABCD 是 垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC⊥BD．试证明： AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）解决问题：如图 3，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连结 CE、BG、GE．已知 AC＝4，AB＝5，求 GE 的长． 第 6 页（共 25 页） 26 ． （ 13 分 ） 如 图 ， 已 知 抛 物 线 y ＝ ax2+bx+c 经 过 点 A （ ﹣ 3 ， 0 ） 、 B （ 9 ， 0 ） 和 C（0，4），CD 垂直于 y 轴，交抛物线于点 D，DE 垂直于 x 轴，垂足为 E，直线 l 是该 抛物线的对称轴，点 F 是抛物线的顶点． （1）求出该二次函数的表达式及点 D 的坐标； （2）若 Rt△AOC 沿 x 轴向右平移，使其直角边 OC 与对称轴 l 重合，再沿对称轴 l 向上 平移到点 C 与点 F 重合，得到 Rt△A1O1F，求此时 Rt△A1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分图 形的面积； （3）若 Rt△AOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0＜t≤6）得到 Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2 与 Rt△OED 重叠部分图形的面积记为 S，求 S 与 t 之间的函数表达式，并写出自变量 t 的 取值范围． 第 7 页（共 25 页） 2019 年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来） 1．【分析】先根据绝对值和相反数得出 a、b 的值，再分别计算可得． 【解答】解：∵|a|＝1，b 是 2 的相反数， ∴a＝1 或 a＝﹣1，b＝﹣2， 当 a＝1 时，a+b＝1﹣2＝﹣1； 当 a＝﹣1 时，a+b＝﹣1﹣2＝﹣3； 综上，a+b 的值为﹣1 或﹣3， 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出 a、b 的值． 2．【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较 大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的 数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解：0.000073 用科学记数法表示为 7.3×10﹣5， 故选：D． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 3．【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答． 【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示： 故选：A． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从 物体的正面看得到的视图． 第 8 页（共 25 页） 4．【分析】先利用三角形外角性质得到∠FDE＝∠C+∠CED＝140°，然后根据平行线的性 质得到∠BFA 的度数． 【解答】解：∠FDE＝∠C+∠CED＝90°+50°＝140°， ∵DE∥AF， ∴∠BFA＝∠FDE＝140°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角 互补；两直线平行，内错角相等． 5．【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不 变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解： A