2014 年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． 1 的倒数是（　　） 2 1 1 D．－ 2 2 2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（　　） A． 圆锥 B．六棱柱 C．球 D． 四棱锥 3．（3 分）（2014·长沙）一组数据 3，3，4，2，8 的中位数和平均数分别是（　　） A．3 和 3 B．3 和 4 C．4 和 3 D．4 和 4 4．（3 分）（2014·长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（　　） A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相 等 5．（3 分）（2014·长沙）下列计算正确的是（　　） A．2 B．－2 C． A． 2  5  7 B．  ab 2   ab 4 2 C． 2a  3a  6a D． a � a3  a 4 6．（3 分）（2014·长沙）如图， C 、 D 是线段 AB 上的两点，且 D 是线段 AC 的中点，若 AB  10cm ， BC  4cm ，则 AD 的长为（　　） A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 6cm x 7．（3 分）（2014·长沙）一个关于 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式 组的解集是（　　） A． x  1 B． x ≥ 1 C． x  3 D． x ≥ 3 8．（3 分）（2014·长沙）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2， �DAB  60�，则对角线 BD 的长是（ ） A．1 B． 3 C．2 D． 2 3 9．（3 分）（2014·长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120°后，能与原图形完全重合的是（　　） 10．（3 分）（2014·长沙）函数 y  a 与 y  ax 2  a �0  在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　 x 　） 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）（2014·长沙）如图，直线 a ∥ b ，直线 c 分别与 a ，b 相交，若 �1  70�，则 �2  ______ ____度． 12．（3 分）（201·长沙）抛物线 y  3  x  2   5 的顶点坐标是__________． 2 13．（3 分）（2014·长沙）如图， A 、 B 、 C 是 e O 上的三点， �A � B  100�，则 �ACB  _________ _度． 14．（3 分）（2014·长沙）已知关于 x 的一元二次方程 2 x 2  3kx  4  0 的一个根是 1，则 k  ________ __． 15．（3 分）（2014·长沙）100 件外观相同的产品中有 5 件不合格，现从中任意抽取 1 件进行检测， 抽到不合格产品的概率是__________． 16．（3 分）（2014·长沙）如图，在 △ ABC 中， DE ∥ BC ， △ ABC 面积为__________． DE 2  ， △ ADE 的面积是 8，则 BC 3 17．（3 分）（2014·长沙）如图，点 B 、 E 、 C 、 F 在一条直线上， AB ∥ DF ， AB  DE ， BE  CF ， AC  6 ，则 DF  __________． 18．（3 分）（2014·长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A  2 ，3 ，点 B  2 ，1 ，在 x 轴上存 在点 P 到 A ， B 两点的距离之和最小，则 P 点的坐标是__________． 三、解答题（共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） 19．（6 分）（2014·长沙）计算：  1 2014 1 �1 �  3 8  � �  2 sin 45�． �3 � 1 � x2  2x  1 � 1 20．（6 分）（2014·长沙）先简化，再求值： � ，其中 x  3 ． � 2 � x2� x 4 四、解答题（共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 21．（8 分）（2014·长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了 50 名同学进行“舌尖上的长沙－ 我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图： 请根据所给信息解答以下问题： （1）请补全条形统计图； （2）若全校有 2000 名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？ （3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号 A 、 B 、 C 、 D ，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好 两次都摸到“ A ”的概率． 22．（8 分）（2014·长沙）如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处， CE 与 AD 相交于点 O ． （1）求证： △≌△ AOE COD ； （2）若 �OCD  30�， AB  3 ，求 △ AOC 的面积． 五、解答题（共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 23．（9 分）（2014·长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某 施工队计划购买甲、乙两种树苗共 400 棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵 200 元，乙种树苗每棵 300 元． （1）若购买两种树苗的总金额为 90000 元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ （2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 24．（9 分）（2014·长沙）如图，以 △ ABC 的一边 AB 为直径作 e O ， e O 与 BC 边的交点恰好为 BC 的中点 D ，过点 D 作 e O 的切线交 AC 于点 E ． （1）求证： DE  AC ； （2）若 AB  3DE ，求 tan �ACB 的值． 六、解答题（共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 25．（10 分）（2014·长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之 点”，例如点（－1，－1），（0，0），   2 ， 2 ，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数 个． （1）若点 P  2 ，m  是反比例函数 y  n （ n 为常数， n �0 ）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函 x 数的解析式； （2）函数 y  3kx  s  1 （ k ， s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）若二次函数 y  ax 2  bx  1 （ a ， b 是常数， a  0 ）的图象上存在两个不同的“梦之点” A  x1 ，x1  ， B  x2 ，x2  ，且满足 2  x1  2 ， x1  x2  2 ，令 t  b 2  2b  157 ，试求出 t 的取值范围． 48 26．（10 分）（2014·长沙）如图，抛物线 y  ax 2  bx  c （ a ， b ， c 是常数， a �0 ）的对称轴为 y 1� � 轴，且经过（0，0）和 � a ， �两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的 e P 总经过定点 16 � � A  0 ，2  ． （1）求 a ， b ， c 的值； （2）求证：在点 P 运动的过程中， e P 始终与 x 轴相交； （3）设 e P 与 x 轴相交于 M  x1 ，0  ， N  x2 ，0   x1  x2  两点，当 △ AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标． 2014 年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析　 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．A 考点：倒数． 分析：根据乘积为的 1 两个数倒数，可得一个数的倒数． 解答：解： 1 的倒数是 2， 2 故选：A． 点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 2．C 考点：简单几何体的三视图． 分析：找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可． 解答：解：A．圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故 A 选 项不符合题意； B．六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故 B 选项不符合题意； C．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故 C 选项符合题意； D．四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故 D 选项不符合题意； 故选 C． 点评：考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体． 3．B 考点：中位数；算术平均数． 分析：根据中位数及平均数的定义求解即可． 解答：解：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8， 则中位数是 3，平均数  233 48 4． 5 故选 B． 点评：本题考查了平均数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后， 最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 4．B 考点： 平行四边形的性质． 分析： 根据平行四边形的对角线互相平分可得答案． 解答：解：平行四边形的对角线互相平分， 故选：B． 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质： ① 边：平行四边形的对边相等． ② 角：平行四边形的对角相等． ③ 对角线：平行四边形的对角线互相平分． 5．D 考点：幂的乘方与积的乘方；实数的运算；合并同类项；同底数幂的乘法． 分析：根据二次根式的加减，可判断 A，根据积的乘方，可判断 B，根据合并同类项，可判断 C，根 据同底数幂的乘法，可判断 D． 解答：解：A．被开方数不能相加，故 A 错误； B．积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 B 错误； C．系数相加字母部分不变，故 C 错误； D．底数不变指数相加，故 D 正确； 故选：D． 点评：本题考查了积的乘方，积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 6．B 考点：两点间的距离． 分析：由 AB  10cm ， BC  4cm ，可求出 AC  AB  BC  6cm ，再由点 D 是 AC 的中点，则可求得 AD 的长． 解答：解：∵ AB  10cm ， BC  4cm ， ∴ AC  AB  BC  6cm ， 又点 D 是 AC 的中点