2011 年山东省菏泽市中考数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一顶符合题意，每小题 4 分，共 32 分） 1．（4 分）﹣ 的倒数是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 2．（4 分）为了加快 3G 网络建设，我市电信运营企业将根据各自发展规划，今年预计完 成 3G 投资 2800 万元左右，将 2800 万元用科学记数法表示为多少元时，下列记法正确 的是（　　） A．2.8×103 B．2.8×106 C．2.8×107 D．2.8×108 3．（4 分）将一副三角板按图中方式叠放，则角 α 等于（　　） A．30° B．45° C．60° 4．（4 分）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．75° 化简后为（　　） D．无法确定 5．（4 分）如图所示，已知在三角形纸片 ABC 中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°．在 AC 上取一点 E，以 BE 为折痕，使 AB 的一部分与 BC 重合，A 与 BC 延长线上的点 D 重合， 则 DE 的长度为（　　） A．6 B．3 C． D． 6．（4 分）定义一种运算☆，其规则为 a☆b＝ + ，根据这个规则，计算 2☆3 的值是（ ） 第 1 页（共 18 页） A． B． C．5 D．6 7．（4 分）某种商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店 准备打折销售，但要保证利润率不低于 5%，则至多可打（　　） A．6 折 B．7 折 C．8 折 D．9 折 8．（4 分）如图为抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象，A，B，C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA ＝OC＝1，则下列关系正确的是（　　） A．a+b＝﹣1 B．a﹣b＝﹣1 C．b＜2a D．ac＜0 二、填空题：本大题共 6 小题，共 18 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分. 9．（3 分）使 有意义的 x 的取值范围是　 　． 10．（3 分）分解因式：2a2﹣4a+2＝　 　． 11．（3 分）在一次信息技术考试中，某兴趣小组 8 名同学的成绩（单位：分）分别是： 7，10，9，8，7，9，9，8，则这组数据的中位数是　 　． 12．（3 分）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是 ． 13．（3 分）从﹣2，﹣1，0，1，2 这五个数中任取一个数，作为关于 x 的一元二次方程 x2 ﹣x+k＝0 中的 k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是　 　． 14．（3 分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值 是　 　． 第 2 页（共 18 页） 三、解答题：本大题共 7 小题，共 78 分；解答要写出必要的文字说明，证明过程或演 算步骤 15．（12 分）（1）计算： ﹣（4﹣π）0﹣6cos30°+|﹣2|； （2）已知：如图，∠ABC＝∠DCB，BD、CA 分别是∠ABC、∠DCB 的平分线．求证： AB＝DC． 16．（12 分）（1）解方程： （2）解不等式组 ． 17．（7 分）（1）已知一次函数 y＝x+2 与反比例函数 ，其中一次函数 y＝x+2 的图象 经过点 P（k，5）． ① 试确定反比例函数的表达式； ② 若点 Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点 Q 的坐标． （2）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E 为 AB 中点，EF∥DC 交 BC 于点 F，求 EF 的长． 18．（10 分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB＝AC，AD 交 BC 于点 E，AE＝2，ED＝4， （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求 AB 的长； （3）延长 DB 到 F，使得 BF＝BO，连接 FA，试判断直线 FA 与⊙O 的位置关系，并说明 理由． 第 3 页（共 18 页） 19．（10 分）2011 年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担 过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待 学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣； B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的 统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了　 　名学生； （2）将图①补充完整； （3）求出图②中 C 级所占的圆心角的度数； （4）根据抽样调查结果，请你估计我市近 80000 名八年级学生中大约有多少名学生学 习态度达标（达标包括 A 级和 B 级）？ 20．（9 分）我市一家电子计算器专卖店每只进价 13 元，售价 20 元，多买优惠；凡是一次 买 10 只以上的，每多买 1 只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20 只计算器，于是每只降价 0.10×（20﹣10）＝1（元），因此，所买的全部 20 只计算器 都按照每只 19 元计算，但是最低价为每只 16 元． （1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2）写出该专卖店当一次销售 x（时，所获利润 y（元）与 x（只）之间的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围； （3）若店主一次卖的只数在 10 至 50 只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大 利润为多少？ 第 4 页（共 18 页） 21．（10 分）如图，抛物线 y＝ x2+bx﹣2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD 的值最小时，求 m 的值． 第 5 页（共 18 页） 2011 年山东省菏泽市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一顶符合题意，每小题 4 分，共 32 分） 1．【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 【解答】解：∵﹣ ×（ ∴﹣ 的倒数是 ）＝1， ． 故选：D． 【点评】此题主要考查了倒数的定义，需要掌握并熟练运用． 2．【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 2800 万元用科学记数法表示为 2.8×107 元． 故选：C． 【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和计算． 【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等， ∴∠1＝45°， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ∴∠α＝∠1+30°＝75°． 故选：D． 【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两 第 6 页（共 18 页） 个内角的和． 4．【分析】先从实数 a 在数轴上的位置，得出 a 的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣ 11）的取值范围，再开方化简． 【解答】解：从实数 a 在数轴上的位置可得， 5＜a＜10， 所以 a﹣4＞0， a﹣11＜0， 则 ， ＝a﹣4+11﹣a， ＝7． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念． 5．【分析】易得∠ABC＝60°，∠A＝30°．根据折叠的性质∠CBE＝∠D＝30°．在△BCE 和 △DCE 中运用三角函数求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝6， ∴sinA＝BC：AB＝1：2， ∴∠A＝30°，∠CBA＝60°． 根据折叠的性质知，∠CBE＝∠EBA＝ ∠CBA＝30°， ∴CE＝BCtan30°＝ ∴DE＝2CE＝2 ， ． 故选：C． 【点评】本题考查了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴 对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等； 2、 直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解． 6．【分析】由 a☆b＝ + ，可得 2☆3＝ + ，则可求得答案． 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：∵a☆b＝ + ， ∴2☆3＝ + ＝ ． 故选：A． 【点评】此题考查了新定义题型．解题的关键是理解题意，根据题意解题． 7．【分析】本题可设打 x 折，根据保持利润率不低于 5%，可列出不等式：1200× ﹣ 800≥800×5%，解出 x 的值即可得出打的折数． 【解答】解：设可打 x 折，则有 1200× ﹣800≥800×5%， 解得 x≥7． 即最多打 7 折． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折 数时注意要除以 10． 8．【分析】由抛物线与 y 轴相交于点 C，就可知道 C 点的坐标（0，1）以及 A 的坐标，然 后代入函数式，即可得到答案． 【解答】解：A、由图象可知，当 x＝1 时，y＞0，即 a+b+1＞0，所以 a+b＞﹣1，故 A 不正确； B、由抛物线与 y 轴相交于点 C，可知道 C 点的坐标为（0，c）， 又因为 OC＝OA＝1， 所以 C（0，1），A（﹣1，0）， 把它代入 y＝ax2+bx+c， 即 a•（﹣1）2+b•（﹣1）+1＝0， 即 a﹣b+1＝0， 所以 a﹣b＝﹣1． 故 B 正确； C、由图象可知，﹣ ＜﹣1，解得 b＞2a，故 C 错误； D、由图象可知，抛物线开口向上，所以 a＞0；又因为 c＝1，所以 ac＞0，故 D 错误． 故选：B． 第 8 页（共 18 页） 【点评】解决本题的关键在于根据抛物线与 x 轴，y 轴的交点判断交点坐标，然后代入 函数式，推理 a，b，c 之间的关系． 二、填空题：本大题共 6 小题，共 18 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分. 9．【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式 的意义，被开方数是非负数． 【解答】解：根据题意得：4x﹣1≥0， 解得 x≥ ． 故答案为：x≥ ． 【点评】函数自变量的范围一