2015 年湖南省怀化市中考数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正 确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4 分）某地一天的最高气温是 12℃，最低气温是 2℃，则该地这天的温差是（　　） A．﹣10℃ B．10℃ C．14℃ D．﹣14℃ C．x•x2＝x2 D．x（2x）2＝4x3 2．（4 分）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．（x3）3＝x6 3．（4 分）体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一位同学的成绩 比较稳定，通常要比较两名同学成绩的（　　） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 4．（4 分）下列不等式变形正确的是（　　） A．由 a＞b 得 ac＞bc B．由 a＞b 得﹣2a＞﹣2b C．由 a＞b 得﹣a＜﹣b D．由 a＞b 得 a﹣2＜b﹣2 5．（4 分）下列事件是必然事件的是（　　） A．地球绕着太阳转 B．抛一枚硬币，正面朝上 C．明天会下雨 D．打开电视，正在播放新闻 6．（4 分）一个多边形的内角和是 360°，这个多边形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．不能确定 7．（4 分）设 x1，x2 是方程 x2+5x﹣3＝0 的两个根，则 x12+x22 的值是（　　） A．19 B．25 C．31 D．30 8．（4 分）下列各点中，在函数 y＝﹣ 图象上的是（　　） A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1） 9．（4 分）如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图 ， 小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（　　） 第 1 页（共 16 页） A．仅有甲和乙相同 B．仅有甲和丙相同 C．仅有乙和丙相同 D．甲、乙、丙都相同 10．（4 分）一次函数 y＝kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则 k 和 b 的取 值范围是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 11．（4 分）二次函数 y＝x2+2x 的顶点坐标为　 　，对称轴是直线　 　． 12．（4 分）分解因式：ax2﹣ay2＝　 　． 13．（4 分）方程 ＝0 的解是　 　． 14．（4 分）如图，在正方形 ABCD 中，如果 AF＝BE，那么∠AOD 的度数是　 　． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 64 分） 15．（8 分）计算： 16．（8 分）解不等式组： ． ，并把它的解集在数轴上表示出来． 17．（8 分）已知：如图，在△ABC 中，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接 EF、AD，其交 点为 O．求证： （1）△CDE≌△DBF； （2）OA＝OD． 第 2 页（共 16 页） 18．（8 分）小明从今年 1 月初起刻苦练习跳远，每个月的跳远成绩都比上一个月有所增 加，而且增加的距离相同．2 月份，5 月份他的跳远成绩分别为 4.1m，4.7m．请你算出 小明 1 月份的跳远成绩以及每个月增加的距离． 19．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2 （1）求作⊙O，使它过点 A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，求出劣弧 的长 l． 20 ． （ 8 分 ） 甲 乙 两 人 玩 一 种 游 戏 ： 三 张 大 小 、 质 地 都 相 同 的 卡 片 上 分 别 标 有 数 字 1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回； 又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为 奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由． 21．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，E 是 BC 的中点，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D，连接 DE （1）求证：△ABC∽△CBD； （2）求证：直线 DE 是⊙O 的切线． 第 3 页（共 16 页） 22．（8 分）如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P 以每秒 1 个单位的 速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A→B→C 方向运动，它们到 C 点后都停止运动，设点 P，Q 运动的时间为 t 秒． （1）在运动过程中，求 P，Q 两点间距离的最大值； （2）经过 t 秒的运动，求△ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式； （3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得△PQC 为等腰三角形？若存在， 求出此时的 t 值；若不存在，请说明理由（ ≈2.24，结果保留一位小数） 第 4 页（共 16 页） 2015 年湖南省怀化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正 确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．【分析】用最高气温减去最低气温，然后根据有理数的减法运算法则减去一个数等于加 上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：12℃﹣2℃＝10℃． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的 关键． 2．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式不能合并，错误； B、原式＝x9，错误； C、原式＝x3，错误； D、原式＝4x3，正确， 故选：D． 【点评】此题考查了单项式乘以单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方 与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明 这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较 稳定，通常需要比较这两名学生了 5 次短跑训练成绩的方差． 【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了 5 次短跑训练成绩 的方差． 故选：B． 【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义． 4．【分析】A：因为 c 的正负不确定，所以由 a＞b 得 ac＞bc 不正确，据此判断即可． B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可． C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可． D：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方 第 5 页（共 16 页） 向不变，据此判断即可． 【解答】解：∵a＞b， ∴①c＞0 时，ac＞bc；② c＝0 时，ac＝bc；③ c＜0 时，ac＜bc， ∴选项 A 不正确； ∵a＞b， ∴﹣2a＜﹣2b， ∴选项 B 不正确； ∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b， ∴选项 C 正确； ∵a＞b， ∴a﹣2＞b﹣2， ∴选项 D 不正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字 母的式子，不等号的方向不变． 5．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【解答】解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故 A 符合题意； B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故 B 不符合题意； C、明天会下雨是随机事件，故 C 不符合题意； D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故 D 不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事 件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生 的事件． 6．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于 360°，列出方程，解出 即可． 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：设这个多边形的边数为 n， 则有（n﹣2）180°＝360°， 解得：n＝4， 故这个多边形是四边形． 故选：B． 【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程 从而解决问题． 7．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得 x1 与 x2 的和与积，所求的代 数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解． 【解答】解：∵x1，x2 是方程 x2+5x﹣3＝0 的两个根， ∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3， ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝25+6＝31． 故选：C． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题 是一种经常使用的解题方法． 8．【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8 的，就在此函数图象上． 【解答】解：∵反比例函数 y＝﹣ 中，k＝﹣8， ∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣8 的点在函数图象上， 四个选项中只有 A 选项符合． 故选：A． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横 纵坐标的积应等于比例系数． 9．【分析】由已知条件可知，甲的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，2；乙 的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，1；丙的主视图有 2 列，每列小正方数 形数目分别为 2，2．据此可即可求解． 【解答】解：根据分析可知，甲的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，2；乙 的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，1；丙的主视图有 2 列，每列小正方数 形数目分别为 2，2； 则主视图相同的是甲和丙． 故选：B． 第 7 页（共 16 页） 【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知 主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字 中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相 应行中正方形数字中的最大数字． 10．【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：∵一次函数 y＝kx+b 的图象经过一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数的图象