2021 年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分。1～10 小题各 3 分，11～16 小题各 2 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，已知四条线段 a，b，c，d 中的一条与挡板另一侧的线段 m 在同一直线上，请借 助直尺判断该线段是（　　） A．a B．b C．c D．d 2．不一定相等的一组是（　　） A．a+b 与 b+a B．3a 与 a+a+a C．a3 与 a•a•a D．3（a+b）与 3a+b 3．已知 a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（　　） A．＞ 4．与 A．3﹣2+1 B．＜ C．≥ D．＝ C．3+2+1 D．3﹣2﹣1 C．﹣ + D．﹣ + 结果相同的是（　　） B．3+2﹣1 5．能与﹣（ ﹣ ）相加得 0 的是（　　） A．﹣ ﹣ B． + 6．一个骰子相对两面的点数之和为 7，它的展开图如图，下列判断正确的是（　　） A．A 代 B．B 代 C．C 代 D．B 代 7．如图 1，▱ABCD 中，AD＞AB，∠ABC 为锐角．要在对角线 BD 上找点 N，M，使四边 形 ANCM 为平行四边形，现有图 2 中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　） A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是 8．图 1 是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图 2 所示，此时液 面 AB＝（　　） A．1cm 9．若 B．2cm 取 1.442，计算 A．﹣100 ﹣3 C．3cm ﹣98 B．﹣144.2 D．4cm 的结果是（　　） C．144.2 D．﹣0.01442 10．如图，点 O 为正六边形 ABCDEF 对角线 FD 上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则 S 正六边边 ABCDEF 的值是（　　） A．20 B．30 C．40 D．随点 O 位置而变化 11．（2 分）如图，将数轴上﹣6 与 6 两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为 a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（　　） A．a3＞0 B．|a1|＝|a4| C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0 12．（2 分）如图，直线 l，m 相交于点 O．P 为这两直线外一点，且 OP＝2.8．若点 P 关 于直线 l，m 的对称点分别是点 P1，P2，则 P1，P2 之间的距离可能是（　　） A．0 B．5 C．6 D．7 13．（2 分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD 是△ABC 的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B． 证法 1：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）． 证法 2：如图， ∵∠A＝76°，∠B＝59°， 且∠ACD＝135°（量角器测量所得） 又∵135°＝76°+59°（计算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）． 下列说法正确的是（　　） A．证法 1 还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法 1 用严谨的推理证明了该定理 C．证法 2 用特殊到一般法证明了该定理 D．证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 14．（2 分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图 1 及条形 图 2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图 2 中“（　　）”应填的 颜色是（　　） A．蓝 B．粉 C．黄 D．红 15．（2 分）由（ ﹣ ）值的正负可以比较 A＝ 与 的大小，下列正确的是（ 　） A．当 c＝﹣2 时，A＝ B．当 c＝0 时，A≠ C．当 c＜﹣2 时，A＞ D．当 c＜0 时，A＜ 16．（2 分）如图，等腰△AOB 中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作： ① 以 O 为圆心，OA 为半径画圆； ② 在⊙O 上任取一点 P（不与点 A，B 重合），连接 AP； ③ 作 AB 的垂直平分线与⊙O 交于 M，N； ④ 作 AP 的垂直平分线与⊙O 交于 E，F． 结论Ⅰ：顺次连接 M，E，N，F 四点必能得到矩形； 结论Ⅱ：⊙O 上只有唯一的点 P，使得 S 扇形 FOM＝S 扇形 AOB． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 二、填空题（本大题有 3 个小题，每小题有 2 个空，每空 2 分，共 12 分） 17．（4 分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各 1 块，其面积和为 　 　； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片 1 块，再取乙纸片 4 块，还需取丙纸片 　 　块． 18 ． （ 4 分 ） 如 图 是 可 调 躺 椅 示 意 图 （ 数 据 如 图 ） ， AE 与 BD 的 交 点 为 C ， 且 ∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D 的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D 应 　 　（填“增加”或“减少”） 　 　度． 19．（4 分）用绘图软件绘制双曲线 m：y＝ 与动直线 l：y＝a，且交于一点，图 1 为 a ＝8 时的视窗情形． （1）当 a＝15 时，l 与 m 的交点坐标为 　 　； （2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 O 始终在视窗中心． 例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图 1 中坐标系的单位长度变为原来的 ， 其可视范围就由﹣15≤x≤15 及﹣10≤y≤10 变成了﹣30≤x≤30 及﹣20≤y≤20（如图 2）．当 a ＝﹣1.2 和 a＝﹣1.5 时，l 与 m 的交点分别是点 A 和 B，为能看到 m 在 A 和 B 之间的一整 段图象，需要将图 1 中坐标系的单位长度至少变为原来的 ，则整数 k＝　 　． 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 20．（8 分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为 4 元/本、10 元/本．现购 进 m 本甲种书和 n 本乙种书，共付款 Q 元． （1）用含 m，n 的代数式表示 Q； （2）若共购进 5×104 本甲种书及 3×103 本乙种书，用科学记数法表示 Q 的值． 21．（9 分）已知训练场球筐中有 A、B 两种品牌的乒乓球共 101 个，设 A 品牌乒乓球有 x 个． （1）淇淇说：“筐里 B 品牌球是 A 品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101 ﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）据工作人员透露：B 品牌球比 A 品牌球至少多 28 个，试通过列不等式的方法说明 A 品牌球最多有几个． 22．（9 分）某博物馆展厅的俯视示意图如图 1 所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每 走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． （1）求嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率； （2）补全图 2 的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 23．（9 分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1 号指挥机（看成点 P）始终以 3km/min 的速度在离地面 5km 高的上空匀速向右飞行，2 号试飞机（看成点 Q）一直保 持在 1 号机 P 的正下方．2 号机从原点 O 处沿 45°仰角爬升，到 4km 高的 A 处便立刻转 为水平飞行，再过 1min 到达 B 处开始沿直线 BC 降落，要求 1min 后到达 C（10，3）处． （1）求 OA 的 h 关于 s 的函数解析式，并直接写出 2 号机的爬升速度； （2）求 BC 的 h 关于 s 的函数解析式，并预计 2 号机着陆点的坐标； （3）通过计算说明两机距离 PQ 不超过 3km 的时长是多少． [注：（1）及（2）中不必写 s 的取值范围] 24．（9 分）如图，⊙O 的半径为 6，将该圆周 12 等分后得到表盘模型，其中整钟点为 An（n 为 1～12 的整数），过点 A7 作⊙O 的切线交 A1A11 延长线于点 P． （1）通过计算比较直径和劣弧 长度哪个更长； （2）连接 A7A11，则 A7A11 和 PA1 有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长 PA7 的值． 25．（10 分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x 轴上依次有 A，O，N 三个点，且 AO＝2，在 ON 上方有五个台阶 T1～T5（各拐角均为 90°），每个台阶的高、宽分别是 1 和 1.5，台阶 T1 到 x 轴距离 OK＝10．从点 A 处向右上方沿抛物线 L：y＝﹣x2+4x+12 发 出一个带光的点 P． （1）求点 A 的横坐标，且在图中补画出 y 轴，并直接指出点 P 会落在哪个台阶上； （2）当点 P 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 L 形状相同的抛物线 C，且最 大高度为 11，求 C 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 T5 有交点； （3）在 x 轴上从左到右有两点 D，E，且 DE＝1，从点 E 向上作 EB⊥x 轴，且 BE＝2． 在△BDE 沿 x 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 C 下落的点 P 能落在边 BD（包 括端点）上，则点 B 横坐标的最大值比最小值大多少？ [注：（2）中不必写 x 的取值范围] 26．（12 分）在一平面内，线段 AB＝20，线段 BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首 尾相接．把 AB 固定，让 AD 绕点 A 从 AB 开始逆时针旋转角 α（α＞0°）到某一位置时， BC，CD 将会跟随出现到相应的位置． 论证：如图 1，当 AD∥BC 时，设 AB 与 CD 交于点 O，求证：AO＝10； 发现：当旋转角 α＝60°时，∠ADC 的度数可能是多少？ 尝试：取线段 CD 的中点 M，当点 M 与点 B 距离最大时，求点 M 到 AB 的距离； 拓展：①如图 2，设点 D 与 B 的距离为 d，若∠BCD 的平分线所在直线交 AB 于点 P，直 接写出 BP 的长（用含 d 的式子表示）； ② 当点 C 在 AB 下方，且 AD 与 CD 垂直时，直接写出 a 的余弦值．