2013 年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分。每小题只有一个正确选项， 请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1．（3 分）计算（+2）+（﹣3）所得的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 C． D． 2．（3 分）3tan30°的值等于（　　） A． 3．（3 分）函数 y＝ A．x＞﹣1 B．3 中，自变量 x 的取值范围是（　　） B．x＜﹣1 C．x≠﹣1 D．x≠0 4．（3 分）若|a|＝﹣a，则实数 a 在数轴上的对应点一定在（　　） A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 5．（3 分）已知方程 x2﹣2x﹣1＝0，则此方程（　　） A．无实数根 B．两根之和为﹣2 C．两根之积为﹣1 D．有一根为﹣1+ 6．（3 分）一组数据按从小到大排列为 2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为 9， 则这组数据的众数为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 7．（3 分）下列事件中是必然事件的是（　　） A．在一个等式两边同时除以同一个数，结果仍为等式 B．两个相似图形一定是位似图形 C．平移后的图形与原来图形对应线段相等 D．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面一定朝上 8．（3 分）用一个圆心角为 120°，半径为 2 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面 圆半径为（　　） A． B． C． 第 1 页（共 25 页） D． 9．（3 分）化简 A．﹣2 ÷ • ，其结果是（　　） B．2 C．﹣ D． 10．（3 分）如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形，点 B 在 EF 边上，若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别是 S1、S2 的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2 11．（3 分）已知下列命题： ① 若 a＞b，则 c﹣a＜c﹣b； ② 若 a＞0，则 ＝a； ③ 对角线互相平分且相等的四边形是菱形； ④ 如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 12．（3 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：① b＜0； ② 4a+2b+c＜0；③ a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分。请把答案填在各题对应的横线上） 13．（3 分）计算： ＝　 　． 第 2 页（共 25 页） 14．（3 分）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为 8 环， 那么成绩为 9 环的人数是　 　． 环数 7 8 人数 3 4 9 15．（3 分）如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上，OB⊥AC，若∠BOC＝56°，则∠ADB＝ 度． 16．（3 分）不等式 （x﹣m）＞3﹣m 的解集为 x＞1，则 m 的值为　 　． 17．（3 分）设有反比例函数 y＝ ，（x1，y1），（x2，y2）为其图象上两点，若 x1＜0 ＜x2，y1＞y2，则 k 的取值范围　 　． 18．（3 分）如图，在三角形纸片 ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片，使点 C 落在 AB 边上的 D 点处，折痕 BE 与 AC 交于点 E，若 AD＝BD，则折痕 BE 的长为　 　． 19．（3 分）如图，已知一条直线经过点 A（0，2）、点 B（1，0），将这条直线向左平移 与 x 轴、y 轴分别交于点 C、点 D．若 DB＝DC，则直线 CD 的函数解析式为　 　． 20．（3 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，连接 AE、BE、CE，将△ABE 绕点 B 第 3 页（共 25 页） 顺时针旋转 90°到△CBE′的位置．若 AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝　 　度． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 60 分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程 写在对应位置） 21．（8 分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘 A、B 分成 4 等份、 3 等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏 规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为 3 的倍数， 甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为 4 的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上， 则需要重新转动转盘． （1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率； （2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由． 22．（8 分）如图，一根长 6 米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON） 上，与地面的倾斜角（∠ABO）为 60°．当木棒 A 端沿墙下滑至点 A′时，B 端沿地面向右 滑行至点 B′． （1）求 OB 的长； （2）当 AA′＝1 米时，求 BB′的长． 第 4 页（共 25 页） 23．（10 分）某产品生产车间有工人 10 名．已知每名工人每天可生产甲种产品 12 个或乙 种产品 10 个，且每生产一个甲种产品可获得利润 100 元，每生产一个乙种产品可获得 利润 180 元．在这 10 名工人中，车间每天安排 x 名工人生产甲种产品，其余工人生产乙 种产品． （1）请写出此车间每天获取利润 y（元）与 x（人）之间的函数关系式； （2）若要使此车间每天获取利润为 14400 元，要派多少名工人去生产甲种产品？ （3）若要使此车间每天获取利润不低于 15600 元，你认为至少要派多少名工人去生产 乙种产品才合适？ 24．（10 分）如图，已知在△ABP 中，C 是 BP 边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且交 BP 于点 E． （1）求证：PA 是⊙O 的切线； （2）过点 C 作 CF⊥AD，垂足为点 F，延长 CF 交 AB 于点 G，若 AG•AB＝12，求 AC 的 长； （3）在满足（2）的条件下，若 AF：FD＝1：2，GF＝1，求⊙O 的半径及 sin∠ACE 的 值． 25．（12 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 BC 上的一 个动点，连接 DE，交 AC 于点 F． 第 5 页（共 25 页） （1）如图①，当 时，求 的值； （2）如图②当 DE 平分∠CDB 时，求证：AF＝ OA； （3）如图③，当点 E 是 BC 的中点时，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，求证：CG＝ BG． 26．（12 分）已知抛物线 y＝x2﹣3x﹣ 的顶点为点 D，并与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C． （1）求点 A、B、C、D 的坐标； （2）在 y 轴的正半轴上是否存在点 P，使以点 P、O、A 为顶点的三角形与△AOC 相似？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）取点 E（﹣ ，0）和点 F（0，﹣ ），直线 l 经过 E、F 两点，点 G 是线段 BD 的 中点． ① 点 G 是否在直线 l 上，请说明理由； ② 在抛物线上是否存在点 M，使点 M 关于直线 l 的对称点在 x 轴上？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2013 年内蒙古包头市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分。每小题只有一个正确选项， 请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1．【分析】运用有理数的加法法则直接计算． 【解答】解：原式＝﹣（3﹣2）＝﹣1．故选 B． 【点评】解此题关键是记住加法法则进行计算． 代入进行计算即可． 2．【分析】直接把 tan30°＝ 【解答】解：原式＝3× ＝ ． 故选：A． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题 的关键． 3．【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+1≠0， 解得 x≠﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 4．【分析】根据|a|＝﹣a，求出 a 的取值范围，再根据数轴的特点进行解答即可求出答案． 【解答】解：∵|a|＝﹣a， ∴a 一定是非正数， ∴实数 a 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧． 故选：B． 【点评】此题考查了绝对值与数轴，根据|a|≥0，然后利用熟知数轴的知识即可解答，是 一道基础题． 第 8 页（共 25 页） 5．【分析】根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况．由根与系数的关系确 定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根． 【解答】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，则该方程有两个不相等的实数根． 故本选项错误； B、设该方程的两根分别是 α、β，则 α+β＝2．即两根之和为 2，故本选项错误； C、设该方程的两根分别是 α、β，则 αβ＝﹣1．即两根之积为﹣1，故本选项正确； D、根据求根公式 x＝ ＝1± 知，原方程的两根是（1+ ）和（1﹣ ）．故 本选项错误； 故选：C． 【点评】本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用．利用根与 系数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义． 6．【分析】根据中位数为 9，可求出 x 的值，继而可判断出众数． 【解答】解：由题意得，（8+x）÷2＝9， 解得：x＝10， 则这组数据中出现次数最多的是 10，故众数为 10． 故选：D． 【点评】本题考查了中位数及众数的知识，属于基础题，掌握中位数及众数的定义是关 键． 7．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件． 【解答】解：A、当除数为 0 时，结论不成立，是随机事件； B、两个相似图形不一定是位似图形，是随机事件； C、平移后的图形与原来图形对应线段相等，是必然事件； D、随机抛出一枚质地均匀的硬币，落地后正面可能朝上，是随机事件． 故选：C． 【点评】本题考查了必然事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础