《5.4.4 正切函数性质与图像 》 教学设计 …………………………………………………………李德峰 （一）教学内容 正切函数性质与图像 （二）教材分析 1. 教材来源 人教 A 高中数学必修第一册第五章 2. 地位与作用 它是继正余弦函数之后的又一三角函数，其研究方法与前面正余弦函 数图象与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和应用，也是学生对学习函数规 律的总结和探究。正确理解和熟练掌握正切函数的图象和性质也是之后学好《已知三角函 数求值》的关键。 （三）学情分析 1.认知基础： 通过前面的学习，学生对研究三角函数的性质有了一定的经验积累， 通过教材的“思考”引导学生对函数性质的研究经验进行概括总结。 2.认知障碍： 一个角的正切值是这个角的终边与单位圆交点的坐标比值，难以直接 利用正切值得几何意义对正切函数进行几何作图，对正切函数图像与定义之间的内在联系 在理解上有一定的难度。 （四）教学目标 1. 知识目标：掌握正切函数的性质，认识并会画正切函数的简图 2. 能力目标：通过学生自己动手做图，调动学生的积极性，培养学生数形结合的思想 方法。 3.素养目标：通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。 （五）教学重难点： 重点：正切函数的性质与图象 难点：利用正切函数的图象研究正切函数的单调性及值域. （六）教学思路与方法 在教学中我将采用启发式引导教学，让大家通过类比正 余弦函数的图象及性质来研究正切函数的性质与图象，并引导学生用数形结合的思 想理解和处理有关题 （七）课前准备 多媒体 （八）教学过程 教学环节：学生自学成果展示（随机点名，每个学生都要做好准备） 教学内容 师生活动 1 设计意 图 导入：思考 通 过 （1）根据研究正弦函数、余 弦函数的经验，你认为应 如何研究正切函数的图像 通过会议正切函数的定义，引导学生先研究正切 函数的性质，再利用性质研究正切函数图像。 提 问 ， 激 发 学 生 自 主 探 究 的 与性质？ 热情 （2）你能用不同的方法研究 正切函数吗？ 教学环节：教师解惑与强调 教学内容 师生活动 设计意 图 1、周期性 有诱导公式： 正切函数周期是 π 2、奇偶性 正切函数是奇函数 tan ( x+ π )=tanx , x ∈ R , 且 x ≠ π +k π 2 有诱导公式： tan (− x)=−tanx , x ∈ R , 且 x ≠ π +k 2 π 通过 面所 诱导 式， 探究 质。 前 学 公 先 性 让 感 个 图 得 程 用 位 生 整 数 获 过 利 单 这 探究：如何画出函数 y tan x, x  (   , )的图象 2 2 在直角坐标系中画出 角 x 的终边与单位圆的交点 P（ x 0 , y 0 ）, 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M；过 A（1,0） 作 x 轴的垂线交于点 T,则 tanx= y 0 MP AT = = =AT x 0 OM OA 由此可见，当 x ϵ ¿ 时，线段 AT 的长度就 是相应角 x 的正切值。我们可以利用线段 AT 画出函数 y=tanx， x ϵ ¿ 的图像。 2 学 受 函 像 的 ， 好 圆 根 据 正 切 函 数 是 奇 函 数 ， 画 出 y tan x, x  ( 把 个脚手 架   , )的图象 2 2 y tan x, x  (   , )的图象 的图像，向 2 2 左、右平移，每次平移 π 个单位，就可以 得到正切函数的图像，我们把它叫做正切曲线。 3、单调性 正切函数在每一个区间 （− π π +k π ， +k π ）(k ∈ Z) 2 2 观察正切曲线可知，正切函数在区间 上都单调递增。 π π ， ） 上单调递增。由正切函数的 2 2 （− 4、值域 周期性可得，正切函数在每一个区间 正切函数的值域是实数集 R π π +k π ， +k π ）(k ∈ Z) 上都单调 2 2 （− 例 、 y=tan( 求 函 数 观 数 得 调 值 递增。 π π x+ ) 的 定 义 域 2 3 周期及单调区间。 通过 察函 图像 到单 性与 域。 当 xϵ（− 3 π π ， ） 时 ， 2 2 tanx 在 通过例 （− ∞ ，+ ∞ ） 内可取到任意实数值，但 题 讲 解 没有最大值、最小值 学会性 质应用 教学环节：课堂检测（5-10 分钟） 教学内容 师生活动 设计意 图   y tan  2 x   3  的周期、  求函数 周期 定义域、单调区间 T  2；   k   x x   ,k Z 2 12 ； 定义域  D．无法确定  k 5 k   - ，  ， k  Z  单调增区间：  2 12 2 12  教学环节：小结思考 让学 独立 成， 过展 以小 展示 检验 生学 成果 生 完 通 台 组 ， 学 习 布置作业 作业： 课本 213 页练习 1,2,3,4,5 题 习题 5.4 第 7、8 题 小结： 1.正切函数的图象是被互相平行的直线所 4 梳理本 节课对 隔开的无数支相同形状的曲线组成,且关于点 对称,正切函数的性质应结合图象去理解和记 忆. 1.研究正切函数问题时,一般先考察函数  � �   k ,  k  � , k �z 的情形, 再拓 2 � 在区间 � �2 展到整个定义域. 3.正切曲线与 x 轴的交点及渐近线,是确 定图象形状、位置的关键要素,作图时一般先 找出这些点和线,再画正切曲线. 教学环节：板书设计 1、周期性 2、奇偶性 y=tanx 图像 3、单调性 4、值域 5 于正切 函数的 认知 6