2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(乙卷·文科) 压轴题解读 11．设 B 是椭圆 C ： 5 A． 2 x2 ＋ y 2 ＝1 的上顶点，点 P 在 C 上，则 ¿ PB∨¿ 的最大值为( ) 5 B． ❑ √6 C． ❑ √5 D．2 【命题意图】考查椭圆的性质，两点间的距离，函数的思想，考查逻辑推理，数学运算的核心素养 【答案】A 【解析】由椭圆方程可得 a  5, b  1 . 椭 圆 的 上 轴 a  5 ， b  1 . 故 椭 圆 的 上 顶 点 为 B(0,1) . x2  y2  1 设 P( x, y) ，则有 5 ，故 x 2  5(1  y 2 ) ，由椭圆的性质可得 1 �y �1 . 则 | PB |2  x 2  ( y  1)2  5(1  y 2 )  ( y  1) 2 y 1 25  4( y 2  )  6  4( y  ) 2  2 4 4 1 25 y 2 因为 1 �y �1 ，所以当 4 时， | PB | 取得最大值，最大值为 4 ，  4 y 2  2 y  6 5 所以 | PB | 的最大值为 2 . 【规律总结】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何 方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方 法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 (些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不 等式方法等进行求解. 12．设 a ≠ 0 ，若 x ＝ a 为函数 A． a< b B． a> b 2 x − a ¿ ( x − b) f (x )＝ a ¿ 的极大值点，则( ) 2 C． ab< a 【命题意图】考查函数的极值，考查逻辑推理，数学运算的核心素养 【答案】D D． ab> a 2 【解析】因为 所以 . f ( x )  a ( x  a ) 2 ( x  b) ， f� ( x)  a �2( x  a)( x  b)  a( x  a) 2  a( x  a )[(2 x  2b)  ( x  a )]  a ( x  a )[3x  (a  2b)]  3a ( x  a )( x  a  2b ) 3 ( x)  0 ，解得 x  a 或 由 f� x a  2b 3 . a  2b a 若 a  0 ，由 x  a 为函数的极大值点可得 3 ，也就是 b  a . 此时函数在 所以 若 a (a  b )  0 a 0， 此时函数在 此时， 综上 (�, b  a ) ，即 a (a  b)  0 a 2  ab ( a, �) a 2  ab 和 f� ( x)  0 函 (b  a, �) ，即 上 ，函数单调递减；在 (b  a , a ) 上 f� ( x)  0 ，函数单调递增. . x  a为 由 (�, a ) 和 a 2  ab 上 数 的 f� ( x)  0 极 大 值 点 ，函数单调递增；在 可 ( a, b  a ) 得 上 a a  2b 3 ， f� ( x)  0 解 得 ab. ，函数单调递减. . ，选 D. 【解题方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为 0 和极值 这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于 0 不是此点为极值点的充要条件，所 以用待定系数法求解后必须检验. 16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和 俯视图的编号依次为_____________(写出符合求的一组答案即可)． 【命题意图】考查三视图，考查直观想象，逻辑推理能力 【答案】②⑤或③④ 【解析】根据“长对正，高平齐，宽相等”及图中数据，可知②③只能是侧视图，④⑤只能是俯视图，于是可得正确答 案为②⑤或③④ 若为②⑤，则如图 1；若为③④，则如图 2. 【解题方法】画三视图的三个原则： (1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”. (2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方. (3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出. 2 20．已知抛物线 C： y ＝ 2 px ( p>0) 的焦点 F 到准线的距离为 2． (1)求 C 的方程； PQ ＝ 9 ⃗ QF ，求直线 OQ 斜率的最大值． (2)已知 О 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足 ⃗ 【命题意图】本题考查抛物线的性质方程，只限于抛物线的关系，基本不等式求最值，考查逻辑推理，及运算求解能 力． 【解析】（1）由题意知，  y2  4x ． p2 ， （2）由（1）知，抛物线 设点 则 Q 的坐标为 ( m, n ) uuur QF  (1  m, n) C : y2  4x ， F (1, 0) ， ， ， uuur uuur PQ  9QF  (9  9m, 9n) P 点坐标为 将点 P 代入 整理得 K  m C (10m  9,10n) 得 ， 100n 2  40m  36 ， 100n2  36 25n 2  9  40 10 ， n 10n 10 1   � 2 m 25n  9 25n  9 3 ，当 时取最大值． n3 n 3 2 21．已知函数 f ( x)＝ x − x ＋ ax ＋ 1 ． (1)讨论 f ( x) 的单调性； (2)求曲线 y ＝ f (x) 过坐标原点的切线与曲线 y ＝ f (x) 的公共点的坐标． 【命题意图】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力． 【解析】（1） f� ( x)  3 x 2  2 x  a ，△  4  12a ， 1 ① 当△ �0 ，即 a� 时，由于 f � ( x) 的图象是开口向上的抛物线，故此时 f � ( x )�0 ，则 f ( x) 在 R 上单调递增； 3 ② 当△  0 ，即 令 f� ( x)  0  f ( x) 在 a ，解得 (�, x1 ) 1  1  3a 1  1  3a 1 x  , x2  ( x)  0 ，解得 1 3 时，令 f � 3 3 ， x  x1 ， (x2 或 ， x  x2 �) ，令 f� ( x)  0 单调递增，在 ，解得 (x1 ， x2 ) x1  x  x2 ， 单调递减； 1  1  3a 1  1  3a 1 1 a� a (�, ), ( , �) f ( x ) f ( x ) 3 时， 3 时， 综上，当 在 R 上单调递增；当 在 3 3 单调递增，在 1  1  3a 1  1  3a ( , ) 3 3 单调递减． （2）设曲线 y  f ( x) 则切线方程为 ( x , x 3  x0 2  ax0  1), f � ( x0 )  3x0 2  2 x0  a l 过坐标原点的切线为 ，切点为 0 0 ， y  ( x03  x0 2  ax0  1)  (3x0 2  2 x0  a )( x  x0 ) 将原点代入切线方程有，  切线方程为 令  y  (a  1) x y  f ( x) ，解得 x0  1 ， ， x3  x 2  ax  1  (a  1) x 曲线 2 x03  x02  1  0 ， ，即 x3  x 2  x  1  0 过坐标原点的切线与曲线 ，解得 y  f ( x) x 1 或 x  1 的公共点的坐标为 ， (1, a  1) 和 (1, a  1) ． 压轴题模拟 x2 y2  2  1(a  0, b  0) 2 b 1．（2021·河南焦作市·高三其他模拟（文））已知点 F 为双曲线 a 的右焦点，过 F 作一条渐 � � 近线的垂线，垂足为 A ，若 △ OAF (点 O 为坐标原点)的面积为 2，双曲线的离心率 e ��17, 65 � ，则 a 的取值 范围为（ A．  1, 2 ） B． � 1, 2 � � � �2 � C． �4 ,1� � � 【答案】D 【解析】取双曲线的渐近线为 y b b x y x a ，即 OA 的方程为 a ， a Q F  c,0  , 直线 AF 的方程为 y   b  x  c  ， �2 � D． �2 ,1� � � � b y x � � a 2 联立 � ，解得 �a ab � �y   a  x  c  A� , � , � b �c c �  SVOAF  1 ab c�  2 ，即 ab  4 ， 2 c Q e2  1  b2 16 1 4 2 a a 16 e �� 17, 65 � ,17�1  4 �65 � � 又 a 解得 �2 � 2 的取值范围为 �2 ,1�故选：D. �a�1. � � a 2 2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知 P 是椭圆 C: B 是椭圆 C 的上顶点， PB �2b 总成立，则椭圆离心率的取值范围是（ �2 � B． �2 ,1 � � � � � 2� 0, � A． � � 2 � � 3� 0, � C． � � � 2 � x2 y 2   1 a  b  0  上任意一点， a2 b2 ） �3 � D． �2 ,1� � � � 【答案】A �x  a cos  x2 y 2   1 a  b  0   【解析】由 2 ，可令 �y  b sin  ， � a b2 因为 B 是椭圆 C 的上顶点，所以 PB �2 b �� PB 2 4b 2 B(0, b) ( a cos  ) 2