2016 年天津市高考数学试卷（理科） 　 一、选择题 1．（5 分）（2016•天津）已知集合 A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则 A∩B=（　　） A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4} 2．（5 分）（2016•天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（　　） A．﹣4 B．6 C．10 D．17 3．（5 分）（2016•天津）在△ABC 中，若 AB= ，BC=3，∠C=120°，则 AC=（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5 分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（5 分）（2016•天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q＜0”是“对任 意的正整数 n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　　） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣ =1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实 半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面 积为 2b，则双曲线的方程为（　　） 第 1 页（共 21 页） A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 7．（5 分）（2016•天津）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 的值为（　　） A．﹣ B． C． D． 8．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）= （a＞0，且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（　　） A．（0， ] B．[ ， ] C．[ ， ]∪{ } D．[ ， ）∪{ } 　 二、填空题 9．（5 分）（2016•天津）已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则 的值 为　　　　　　． 10．（5 分）（2016•天津）（x2﹣ ）8 的展开式中 x7 的系数为　　　　　　（用数字作 答） 11．（5 分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图 所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 　　　　　　m3 12．（5 分）（2016•天津）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为　　　　　　． 第 2 页（共 21 页） 13．（5 分）（2016•天津）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单 调递增，若实数 a 满足 f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则 a 的取值范围是　　　　　　． 14．（5 分）（2016•天津）设抛物线 （t 为参数，p＞0）的焦点为 F，准线为 l， 过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（ p，0），AF 与 BC 相交于点 E．若|CF| =2|AF|，且△ACE 的面积为 3 　 三、计算题 ，则 p 的值为　　　　　　． 15．（13 分）（2016•天津）已知函数 f（x）=4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ． （1）求 f（x）的定义域与最小正周期； （2）讨论 f（x）在区间[﹣ ， ]上的单调性． 16．（13 分）（2016•天津）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动 次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座 谈会． （1）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； （2）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学 期望． 17．（13 分）（2016•天津）如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平 面 OBEF⊥平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2． （1）求证：EG∥平面 ADF； （2）求二面角 O﹣EF﹣C 的正弦值； （3）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值． 第 3 页（共 21 页） 18．（13 分）（2016•天津）已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 n∈N+，bn 是 an 和 an+1 的等比中项． （1）设 cn=b ﹣b （2）设 a1=d，Tn= ，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列； （﹣1）kbk2，n∈N*，求证： 19．（14 分）（2016•天津）设椭圆 知 + = + =1（a＞ ． ）的右焦点为 F，右顶点为 A．已 ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M， 与 y 轴于点 H，若 BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线 l 的斜率的取值范围． 20．（14 分）（2016•天津）设函数 f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中 a，b∈R． （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0，求证：x1+2x0=3； （3）设 a＞0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于 ． 　 第 4 页（共 21 页） 2016 年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．（5 分）（2016•天津）已知集合 A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则 A∩B=（　　） A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4} 【分析】把 A 中元素代入 y=3x﹣2 中计算求出 y 的值，确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可． 【解答】解：把 x=1，2，3，4 分别代入 y=3x﹣2 得：y=1，4，7，10，即 B={1，4，7，10}， ∵A={1，2，3，4}， ∴A∩B={1，4}， 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5 分）（2016•天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（　　） A．﹣4 B．6 C．10 D．17 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线 l0：2x+5y=0，平移直线 l0，可得经过点 （3，0）时，z=2x+5y 取得最小值 6． 【解答】解：作出不等式组 表示的可行域， 如右图中三角形的区域， 作出直线 l0：2x+5y=0，图中的虚线， 平移直线 l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y 取得最小值 6． 故选：B． 【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是 准确作出不等式组表示的平面区域． 　 第 5 页（共 21 页） 3．（5 分）（2016•天津）在△ABC 中，若 AB= ，BC=3，∠C=120°，则 AC=（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用余弦定理求解即可． 【解答】解：在△ABC 中，若 AB= ，BC=3，∠C=120°， 2 2 2 AB =BC +AC ﹣2AC•BCcosC， 可得：13=9+AC2+3AC， 解得 AC=1 或 AC=﹣4（舍去）． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力． 　 4．（5 分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可． 【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4， 第二次判断不满足条件 n＞3： 第三次判断满足条件：S＞6，此时计算 S=8﹣6=2，n=3， 第四次判断 n＞3 不满足条件， 第五次判断 S＞6 不满足条件，S=4．n=4， 第六次判断满足条件 n＞3， 故输出 S=4， 故选：B． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键． 　 5．（5 分）（2016•天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q＜0”是“对任 意的正整数 n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　　） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 第 6 页（共 21 页） 【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可． 【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q， 若“q＜0”是“对任意的正整数 n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立， 例如：当首项为 2，q=﹣ 时，各项为 2，﹣1， ，﹣ ，…，此时 2+（﹣1）=1＞0， +（﹣ ）= ＞0； 而“对任意的正整数 n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”， 则“q＜0”是“对任意的正整数 n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件， 故选：C． 【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本 题的关键． 　 6．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣ =1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实 半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面 积为 2b，则双曲线的方程为（　　） A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，双曲线的两 条渐近线方程为 y=± x，利用四边形 ABCD 的面积为 2b，求出 A 的坐标，代入圆的方程， 即可得出结论． 【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，双曲线 的两条渐近线方程为 y=± x， 设 A（x， x），则∵四边形 ABCD 的面积为 2b， ∴2x•bx=2b， ∴x=±1 将 A（1， ）代入 x2+y2=4，可得 1+ ∴双曲线的方程为 ﹣ =4，∴b2=12， =1， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 7．（5 分）（2016•天津）已知△ABC 是边长为 1 的