2008 年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学试题 及答案 第Ⅰ卷（共 60 分） 参考公式： 锥体的体积公式： V  1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 3 球的表面积公式： S  4πR 2 ，其中 R 是球的半径． 如果事件 A，B 互斥，那么 P ( A  B )  P ( A)  P( B ) ． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． a2 a3 1．满足 M � a1，，， ） A．1 B．2 a4  ，且 M I  a1，，， a2 a3    a1 a2  的集合 M 的个数是（ C．3 D．4 2．设 z 的共轭复数是 z ，若 z  z  4 ， z gz  8 ，则 B． i A． i z 等于（ ） z D． � i C． � 1 � ππ �  x  �的图象是（ ） 2� �2  3．函数 y  ln cos x � y π  2 O y π 2 x π  2 A． O y π 2 x π  2 y π 2 O B． x π  2 C． O π 2 x D． 4．给出命题：若函数 y  f ( x) 是幂函数，则函数 y  f ( x) 的图象不过第四象限．在它的 逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ A．3 B．2 C．1 D．0 � 1 x 2，， ≤ x � 5．设函数 f ( x)  � 2 1 x 1 �x  x  2，， A． 15 16 B．  27 16 C． 8 9 ） �1 � �的值为（ ） �f (2) � 则f� D． 18 6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A． 9π B． 10π 2 3 2 2 俯视图 正 ( 主 ) 视图侧 ( 左 ) 视图 C． 11π D． 12π 7．不等式 x5 ≥ 2 的解集是（ ） ( x  1) 2 � 1� � 2� �1 � �2 � 3， � A． �  ， 3� B． � 1 � � 2 � � �1 � �2 � 1� U  1 3 C． � ，，  ，， 1�U  1 3 D． � 8 ． 已 知 a，， b c 为 △ ABC 的 三 个 内 角 A，， B C的 对 边 ， 向 量 m  ( 3，，，  1) n  (cos A sin A) ． 若 m  n ， 且 a cos B  b cos A  c sin C ， 则 角 A，B 的大小分别为（ ） ππ 2ππ A． ， B． ， 6 3 3 6 ππ 3 6 ππ 3 3 C． ， D． ， 9．从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如表，则这 100 人成绩的标准差为（ ） A． 3 B． 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 C．3 D． 8 5 π4� � 7π � 3 ，则 sin �   �的值是（ ） � sin   6� 5 � 6 � � � 2 3 5 5 2 10 5  10．已知 cos � A．  分数 B． 2 3 5 C．  4 5 D． 4 5 11．若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4 x  3 y  0 和 x 轴相切，则该圆的标 准方程是（ ） � � A． ( x  3) 2  �y  2 7� � 1 3� B． ( x  2) 2  ( y  1) 2  1 2 � 3� 2 � ( y  1)  1 � 2� C． ( x  1) 2  ( y  3) 2  1 D． � x 12．已知函数 f ( x)  log a (2  b  1)( a  0，a �1) 的图象如图所示，则 a，b 满足的关系 x 是（ ） A． 0  a y 1  b 1 C． 0  b 1  a  1 B． 0  b  a 1 1 D． 0  a 1  b 1  1 x O 1 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．已知圆 C : x 2  y 2  6 x  4 y  8  0 ．以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个 焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 14．执行右边的程序框图，若 p  0.8 ， 则输出的 n  n  1，S  0 x ? 则 f (2)  f (4)  f (8)  L  f (28 ) 的 否 是 ． �x  y  2 ≥ 0， � 5 x  y  10 ≤ 0， � 16．设 x，y 满足约束条件 � �x ≥ 0， �y ≥ 0， � 则 z  2 x  y 的最大值为 开始 输入 p ． 15．已知 f (3 )  4 x log 2 3  233 ， 值等于 ． SS 1 2n 输出 n  n 1 结束 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x )  3 sin( x   )  cos( x   ) （ 0π   y  f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 ，   0 ）为偶函数，且函数 π ． 2 �π � �8 � （Ⅰ）求 f � � 的值； （Ⅱ）将函数 y  f ( x) 的图象向右平移 π 个单位后，得到函数 y  g ( x) 的图象，求 g ( x) 6 的单调递减区间． 18．（本小题满分 12 分） A2 A3 通 晓 日 语 ， B1，， B2 B3 通 晓 俄 语 ， 现 有 8 名 奥 运 会 志 愿 者 ， 其 中 志 愿 者 A1，， C1，C2 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组． （Ⅰ）求 A1 被选中的概率； （Ⅱ）求 B1 和 C1 不全被选中的概率． 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P  ABCD 中，平面 PAD  平面 ABCD ， AB ∥ DC ， △ PAD 是等边 三角形，已知 BD  2 AD  8 ， AB  2 DC  4 5 ． P （Ⅰ）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD  平面 PAD ； （Ⅱ）求四棱锥 P  ABCD 的体积． M D A C B 20．（本小题满分 12 分） 将数列  an  中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a2 a4 a7 L 构成的数列为  bn  ， b1  a1  1 ． Sn 为数列  bn  的 记表中的第一列数 a1，，，， 前 n 项和，且满足 2bn  1(n ≥ 2) ． bn Sn  Sn2 �1 � �S n （Ⅰ）证明数列 � �成等差数列，并求数列  bn  的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比 为同一个正数．当 a81   4 时，求上表中第 k (k ≥ 3) 行所有项的和． 91 21．（本小题满分 12 分） 设函数 f ( x )  x 2 e x 1  ax 3  bx 2 ，已知 x  2 和 x  1 为 f ( x) 的极值点． （Ⅰ）求 a 和 b 的值； （Ⅱ）讨论 f ( x) 的单调性； （Ⅲ）设 g ( x)  2 3 x  x 2 ，试比较 f ( x ) 与 g ( x) 的大小． 3 22．（本小题满分 14 分） x a 已知曲线 C1：  径为 y  1(a  b  0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 ，曲线 C1 的内切圆半 b 2 5 ．记 C 为以曲线 C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． 2 1 3 （Ⅰ）求椭圆 C2 的标准方程； （Ⅱ）设 AB 是过椭圆 C2 中心的任意弦， l 是线段 AB 的垂直平分线． M 是 l 上异于椭圆 中心的点． （1）若 MO   OA （ O 为坐标原点），当点 A 在椭圆 C2 上运动时，求点 M 的轨迹方 程； （2）若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点，求 △ AMB 的面积的最小值． 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 答案 1．B 则 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合 M 中必含有 a1 , a2 , M   a1 , a2  或 M   a1 , a2 , a4  .选 B. 2．D z� z 8 解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设 z  2  bi ，由 z z 2  2 �2i     �i. 选 D. 2 得 4  b  8, b  � 2. z 8 8 2 解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。 3．A y  ln cos x(   x ) 2 2 是偶函 数， 可排除 B、D，由 cos x 的值域可以确定.选 A. 解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题 ,则其逆否命题也是 4．C 真命题, 而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题 有一个。选 C. 解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。 5．A �1 � 1 1 15 f� � f ( )  1   . 选 A. 4 16 16 Q f (2)  4, �f (2) � 6．D 解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由 一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 S  4 �12   �12 �2  2 �� 1 3  12 . 选 D。 7．D 解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知 由 x3 8．C x �1 排除 B;由 x0 符合可排除 C; 排除 A, 故选 D。也可用分式不等式的解法,将 2