绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷 时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 P ( A U B )  P ( A)  P( B) . 如果事件 A，B 相互独立，那么 P ( AB )  P ( A) P ( B ) . 棱柱的体积公式 V  Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式 V  1 Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高. 3 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为 R，集合 A  {x 0  x  2} ， B  {x x �1} ，则 A I (C R B )  (A) {x 0  x �1} (B) {x 0  x  1} (C) {x 1 �x  2} (D) {x 0  x  2} 第 1 页 共 26 页 �x  y �5, � 2 x  y �4, � 则目标函数 z  3 x  5 y 的最大值为 (2)设变量 x，y 满足约束条件 �  x  y � 1, � � �y �0, (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为 (A) 1 (B) 2 (4)设 x �R ，则“ | x  (C) 3 (D) 4 1 1 | ”是“ x3  1 ”的 2 2 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知 a  log 2 e ， b  ln 2 ， c  log 1 2 (A) a  b  c 1 ，则 a，b，c 的大小关系为 3 (B) b  a  c (C) c  b  a 第 2 页 共 26 页 (D) c  a  b (6)将函数 y  sin(2 x    ) 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 5 10 (A)在区间 [ 3 5 , ] 上单调递增 4 4 (C)在区间 [ 5 3 , ] 上单调递增 4 2 (7)已知双曲线 (B)在区间 [ (D)在区间 [ 3 , ] 上单调递减 4 3 , 2] 上单调递减 2 x2 y2   1(a  0, b  0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B a 2 b2 两点. 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d 2 ，且 d1  d 2  6 ，则双曲线的方程为 (A) (C) x2 y 2  1 4 12 x2 y 2  1 3 9 (B) x2 y 2  1 12 4 (D) x2 y 2  1 9 3 (8)如图，在平面四边形 ABCD 中， AB  BC ， AD  CD ， �BAD  120�， AB  AD  1 . 若点 E 为边 uuur uuu r CD 上的动点，则 AE � BE 的最小值为 (A) 21 16 (B) 3 2 (C) 25 16 第Ⅱ卷 第 3 页 共 26 页 (D) 3 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 12 小题，共 110 分。 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 (9) i 是虚数单位，复数 (10) 在 ( x  1 2 x 6  7i  1  2i . )5 的展开式中， x 2 的系数为 . (11) 已知正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 M  EFGH 的体积为 � �x  1  � 2 2 (12)已知圆 x  y  2 x  0 的圆心为 C，直线 � �y  3  � � △ ABC 的面积为 . 2 t, 2 ( t 为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则 2 t 2 . (13)已知 a , b �R ，且 a  3b  6  0 ，则 2  a 1 的最小值为 8b . �x 2  2ax  a, x �0, f ( x )  若关于 x 的方程 f ( x)  ax 恰有 2 个互异的实数解， (14)已知 a  0 ，函数 � 2  x  2 ax  2 a , x  0. � 则 a 的取值范围是 . 第 4 页 共 26 页 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分 13 分） 在 △ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 b sin A  a cos( B   ). 6 （I）求角 B 的大小; （II）设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2 A  B) 的值. (16)(本小题满分 13 分) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人， 进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检 查. （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概 率. (17)(本小题满分 13 分) 如 图 ， AD∥ BC 且 AD=2BC ， AD  CD , EG∥ AD 且 EG=AD ， CD∥ FG 且 CD=2FG ， DG  平面ABCD ，DA=DC=DG=2. （I）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证： MN∥平面 CDE ； （II）求二面角 E  BC  F 的正弦值； （III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60°，求线段 DP 的长. 第 5 页 共 26 页 (18)(本小题满分 13 分)  设 {an } 是 等 比 数 列 ， 公 比 大 于 0 ， 其 前 n 项 和 为 S n ( n �N ) ， {bn } 是 等 差 数 列 . 已 知 a1  1 ， a3  a2  2 ， a4  b3  b5 ， a5  b4  2b6 . （I）求 {an } 和 {bn } 的通项公式；  （II）设数列 {S n } 的前 n 项和为 Tn (n �N ) ， （i）求 Tn ； (Tk  bk  2 )bk 2n  2   2(n �N ) . � n2 k 1 ( k  1)( k  2) n （ii）证明 (19)(本小题满分 14 分) 设椭圆 x2 x2 5 ，点 的坐标为 A  2  1 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 2 a b 3 (b, 0) ，且 FB �AB  6 2 . （I）求椭圆的方程； （II）设直线 l： y  kx (k  0) 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 AQ 5 2  sin �AOQ (O 为原点) ，求 k 的值. PQ 4 第 6 页 共 26 页 (20)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x)  a x ， g ( x )  log a x ，其中 a>1. （I）求函数 h( x)  f ( x )  x ln a 的单调区间； （II）若曲线 y  f ( x ) 在点 ( x1 , f ( x1 )) 处的切线与曲线 y  g ( x ) 在点 ( x2 , g ( x2 )) 处的切线平行，证 明 x1  g ( x2 )   （III）证明当 2 ln ln a ； ln a 1 e a �e 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y  f ( x) 的切线，也是曲线 y  g ( x) 的切线. 参考答案： 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40 分． （1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 30 分． （9）4–i （10） 5 2 （11） 1 12 第 7 页 共 26 页 （12） 1 2 （13） 1 4 （14） (4 ，8) 三、解答题 （15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式， 以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分． （Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理 a b π  ，可得 b sin A  a sin B ，又由 b sin A  a cos( B  ) ， sin A sin B 6 π π ， 得 a sin B  a cos( B  ) ，即 sin B  cos( B  ) ，可得 tan B  3 ．又因为 B �(0π) 6 6 （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ，可得 B= π ． 3 π ，有 b 2  a 2  c 2  2ac cos B  7 ，故 b= 7 ． 3 2 π 3 4 3 由 b sin A  a cos( B  ) ，可得 sin A  ．因为 a<c，故 cos A  ．因此 sin 2 A