绝密★启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷） 理科数学 注意事项: 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上 无效． 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ �1 � M  x 0  x  4 , N  x � x � 5   � �，则 1. 设集合 M I N （ ） �3 ） A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 � 1� x 0 x� � A. � 3 C. �1 � � x �x  4 � B. � 3 �  x 4 �x  5 D.  x 0  x �5 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定 ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频 【答案】B 率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定 C. 【解析】 【详解】因为频率直方图中的组距为 1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为 M  {x | 0  x  4}, N  {x | 体的相应比率的估计值. �1 � 1 �x �5} ，所以 M �N  �x| �x  4 �, �3 3 故选：B. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户的比率估计值为 0.02  0.04  0.06  6% 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计值为 ,故 A 正确； 0.04  0.02 �3  0.10  10% 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下 该地农户家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的比例估计值为 频率分布直方图： 故 D 正确； ,故 B 正确； 0.10  0.14  0.20 �2  0.64  64%  50% , 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 3 �0.02  4 �0.04  5 �0.10  6 �0.14  7 �0.20  8 �0.20  9 �0.10  10 �0.10  11�0.04  12 �0.02  13 �0.02  14 �0.02  7.68 (万元)，超过 6.5 万元，故 C 错误. 综上，给出结论中不正确的是 C. 故选：C. 【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计 故选：C. 值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注 5. 已知 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且 频率 意各组的频率等于 组距 3. 已知 �组距 A. . 13 2 C. 7 D. 13 【解析】 3  i C. 2 3 1  i B. 2 3  i D. 2 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 PF1 , PF2 ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为 PF1  3 PF2 ，由双曲线的定义可得 PF1  PF2  2 PF2  2a ， 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得 z  3  2i ，根据复数除法运算法则，即可求解. 2i 【详解】 (1  i ) z  2iz  3  2i ， 2 z B. 【答案】A (1  i ) 2 z  3  2i ，则 z  （ ） 3 1  i A. 2 7 2 �F1PF2  60� , PF1  3 PF2 ，则 C 的离心率为（ ） 所以 PF2  a ， PF1  3a ； 因为 �F1 PF2  60� 4c 2 ‫��װ‬ 9a 2  a 2 2 3a a cos 60 ， ,由余弦定理可得 c2 7 7 整理可得 4c 2  7 a 2 ，所以 e  a 2  4 ，即 e  2 . 2 3  2i (3  2i ) � i 2  3i 3    1  i 2i 2i � i 2 2 . 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 a, c 间的等量关系是求解的关键. 故选：B. 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数 据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ A. 1.5 L  5  lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为 6. 在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G．该正方体截去三棱锥 的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） 10 ）（ 10 �1.259 ） B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 分析】根据 L,V 关系，当 L  4.9 时，求出 lgV ，再用指数表示 V 【 【详解】由 L  5  lg V ，当 L  4.9 时， lgV  0.1 ， V  100.1  10 则  1 10  10 1 1 � �0.8 . 10 1.259 ，即可求解. A. 【答案】D B. C. D. A  EFG 后，所得多面体 【解析】 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断. 8. 2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠 【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示， 峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上 的投影 A� , B� , C� 满足 Т�� A C B� 45 ， ТA� B�� C 60 ．由 C 点测得 B 点的仰角为 15� BB� CC � ， 与 的差为 B C 的高度差 AA�  CC � ，则 A，C 两点到水平面 A��� 约为（ 3 �1.732 ）（ 100；由 B 点测得 A 点的仰角为 45� ） 所以其侧视图为 故选：D 7. 等比数列  an  的公比为 q，前 n 项和为 S n ，设甲： q  0 ，乙：  S n  是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 A. 346 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 B. 373 C. 446 【答案】B C. 甲是乙的充要条件 【解析】 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 A ' B ' ，进而得到答案． 【答案】B 【解析】 【分析】当 q  0 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当  q0 但是  若 S n  是递增数列时，必有 an  0 成立即可说明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列 S n  是递增数列，则必有 an  0 成立，若 q  0 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 q  0 成立， 故选：B． 详解】 2, 4, 8,L q0 为 时，满足 ， S n  不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 所以甲是乙的必要条件． D. 473 【 过 故 C 作 CH  BB ' ，过 B 作 BD  AA ' ， AA ' CC '  AA '  BB ' BH   AA ' BB ' 100  AD  100 ， 由题，易知 所以 △ ADB 为等腰直角三角形，所以 AA ' CC '  DB  100  A ' B ' 100 因为 �BCH  15� ，所以 在 VA ' B ' C ' CH  C ' B '  AD  DB  tan 2  ． ． �� 2sin  1 1 Q  �� 0, �   sin   ， 2 ， ， ，解得 � 2 �  cos  �0 1  2sin  2  sin  4 100 tan15�  cos   1  sin 2   中，由正弦定理得： 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出  30� )  sin 45� cos 30� cos 45� sin 30� 而 sin15� sin(45� 所以 10. 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（ 6 2 ， 4 2 2  100( 3  1) �273 ， 6 2 100 �4 � AA ' CC '  A ' B ' 100 �373 . ） 1 2 2 4 A. 3 B. 5 C. 3 D. 5 【解析】 【分析】采用插空法，4 个 1 产生 5 个空，分 2 个 0 相邻和 2 个 0 不相邻进行求解. 【详解】将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可利用插空法，4 个 1 产生 5 个空， 故选：B． 【点睛】本题关键点在于如何正确将 sin  【答案】C ． AA ' CC ' 15 sin  15 