教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海 卷） 数学试卷(文史类) （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴 在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作 答一律不得分. 4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． x  0 的解为 1．不等式 ． 2x 1 2．在等差数列  an  中，若 a1  a2  a3  a4  30 ，则 a2  a3  ．   3．设 m �R ， m  m  2  m  1 i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m  2 2 ． x 2 x y 0，  1 ，则 y = ． 1 1 1 1 5．已知 ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a ， b ， c ．若 a 2  ab  b 2  c 2  0 ， 则角 C 的大小是 ． 4．若 6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%．在一次考试中，男、女生平均分数 分别为 75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ． 5 �2 a � 7．设常数 a �R ．若 � ． x  �的二项展开式中 x 7 项的系数为-10，则 a  � x� 9  1  3x 的实数解为 8．方程 x ． 3 1 1 9．若 cos x cos y  sin x sin y  ，则 cos  2 x  2 y   ． 3 10．已知圆柱  的母线长为 l ，底面半径为 r ， O 是上地面圆心， A 、 B 是下底面圆心上 两个不同的点， BC 是母线，如图．若直线 OA 与 BC 所成角的大小 π 1 为 ，则  ． 6 r 11．盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球，从中任意取出两个， 则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）． 12 ． 设 AB 是 椭 圆  的 长 轴 ， 点 C 在  上 ， 且 �CBA  π ．若 4 ． AB  4 ， BC  2 ，则  的两个焦点之间的距离为 2 a 13．设常数 a  0 ，若 9 x  �a  1 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为 x ． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 ur 14．已知正方形 ABCD 的边长为 1．记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1 、 uu r uu r ur uu r ur a2 、 a3 ；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c1 、 c2 、 c3 ．若 i, j , k , l � 1, 2,3 ur uu r uu r ur 且 i �j , k �l ，则 ai  a j �ck  cl 的最小值是 ．    二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 15．函数 f  x   x  1 x �1 的反函数为 f 2 （A） 3 （B）  3  1  x  ，则 f 1  2  的值是（ ） （C） 1  2 （D） 1  2 （C）  2, � （D）  2, �  16．设常数 a �R ，集合 A  x |  x  1  x  a  �0 ， B   x | x �a  1 ．若 A U B  R ， 则 a 的取值范围为（ （A）  �, 2  ） （B）  �, 2 17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 x2 ny 2   1 围成的区域（含边界）为  n  n  1, 2,L  ，当点  x, y  分别在 4 4n  1 Mn  （ ） 1 ,  2 ,L 上时， x  y 的最大值分别是 M 1 , M 2 ,L ，则 lim n �� 18．记椭圆 1 (C) 2 (D) 2 2 4 三．解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域写出必要的步骤． （A）0 （B） 19．（本题满分 12 分） 如图，正三棱锥 O  ABC 底面边长为 2 ，高为 1 ， 求该三棱锥的体积及表面积． 20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题．第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分． 甲厂以 x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1 �x �10 ），每小时可 3 x 获得的利润是 100(5 x  1  ) 元． （1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a (5  1 3  )； x x2 （2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并 求此最大利润． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题．第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 已知函数 f ( x)  2 sin( x) ，其中常数   0 ．  ) 的奇偶性并说明理由； 2  （2）令   2 ，将函数 y  f ( x) 的图像向左平移 个单位，再往上平移 1 个单位，得到 6 函数 y  g ( x ) 的图像．对任意的 a �R ，求 y  g ( x ) 在区间 [a, a  10 ] 上零点个数的所 （1）令   1 ，判断函数 F ( x )  f ( x)  f ( x  有可能值． 22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分． 已知函数 f ( x )  2 | x | ．无穷数列 {an } 满足 an 1  f (an ), n �N * ． （1）若 a1  0 ，求 a2 ， a3 ， a4 ； （2）若 a1  0 ，且 a1 ， a2 ， a3 成等比数列，求 a1 的值； （3）是否存在 a1 ，使得 a1 ， a2 ， a3 ，…， an …成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1 ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题．第 1 小 题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分． x2  y 2  1 ， 曲线 2 C2 ： | y || x | 1 ． P 是平面内一点，若存在过点 P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点，则称 P 为“ C1  C2 型 如 图， 已知 双曲 线 C1 ： 点”． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （1）在正确证明 C1 的左焦点是“ C1  C2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一 条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线 y  kx 与 C2 有公共点，求证 | k | 1 ，进而证明原点不是“ C1  C2 型点； （3）求证：圆 x  y  2 2 1 内的点都不是“ C1  C2 型点”． 2 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 2013 年上海高考数学试题（文科） 参考答案 壱． 填空题 1. 0＜ X＜ 1 2 2. 15 3. -2 4. 1 2 3 5. 6. 78 7. -2 8. log 3 4 7 9 10. 3 5 11. 7 4 6 12. 3 1 � 13. � , � 5 � 9. -  14.-5 弐． 选择题 题号 代号 15 A 16 B 17 A 18 D 参． 解答题 19.解：由已知条件可知，正三棱锥 O-ABC 的底面△ABC 是边长 为 2 的正三角形。 经计算得底面△ABC 的面积为 3 1 3 所以该三锥的体积为 � 3 �1= 3 3 设 O’是正三角形 ABC 的中心 由正三棱锥的性质可知，OO’垂直于平面 ABC 延长 AO’交 BC 于 D，得 AD= 3 ,O’D= 3 3 又因为 OO’=1，所以正三棱锥的斜高 OD= 2 3 3 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 1 2 2 3 =2 3 3 故侧面积为 �6 � 所以该三棱锥的表面积为 3+2 3=3 3 因此，所求三棱锥的体积为 3 ，表面积为 3 3 3 20.解： a x （1）生产 a 千克该产品，所用的时间是 小时 � � 3 �a 所获得的利润为 100 �5 x  1  �� x x � 1 3� 元 2 � � x x � � 1 3� （2）生产 900 千克该产品，获得的利润为 90000 �5   2 �， � x x � 3 1 1≤x≤10,记 ƒ（x）=  2   5,1 �x �10 x x 2 �1 1 � 1 x6 则 ƒ（x）= 3 �  �  5, 当且仅当时取到最大值。 �x 6 � 12 61 获得最大利润 90000 � =457500 元。 12 � 所以生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a �5   因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利 润 457500 元。 21. 解 ： （ 1 ） ƒ （ x ） = 2s