r 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文科） 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四 个选项中，选 出符合题目要求的一项. 1.已知集合 A   x �R 3 x  2  0 2 B. (1,  ) 3 A. (�, 1)  , B   x �R ( x  1) ( x  3)  0  ，则 A I 2 C. ( ,3) 3 B =（ ） D. (3, �) 【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算. 【考查方式】给出两个集合，求交集. 【参考答案】C � 2� 3�  x x   �，利用二次不等式的解法可得 B  x x  3 或 x  1 【试题解析】 A  � �   ，画  出数轴易得 A I B  x x  3 . 2.在复平面内，复数 A. (1,3) 10i 对应的点坐标为 3i B. (3,1) C. (1,3) （ ） D. (3, 1 ) 【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义. 【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A 【试题解析】 (1,3) ，故选 A. 10i 10i(3  i)   1  3i ，实部是 1，虚部是 3，对应复平面上的点为 3  i (3  i)(3  i) � 0 �x �2 � �不等式组表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐 0 �x �2 � � 3.设 � 标原点的距离大于 2 的概率是 A. π 4 B. π2 2 （ π 6 C. D. ） 4π 4 【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型. 【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率. 【参考答案】D � 0 �x �2 � �表示的区域表示正方形区 0 � x � 2 � � 【试题解析】题目中 � 域，而动点 D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一 的圆的面积部分，因此 1 2 �2π2  �2 4π ，故选 4 p  2 �2 4 D 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S值 为 ） C．8 A. 2 B. 4 D. 16 4. （ 【测量目标】循环结构的程序图框. 【考查方式】给出程序图，求最后的输出值. 【参考答案】C 【试题解析】 k  0, s  1 � k  1, s  1 � k  2, s  2 � k  3, s  8, 循环结束，输出的 S 为 8，故选 C. 1 1 2 5.函数 f ( x )  x 2  ( ) x 的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【测量目标】导函数的定义与应用. 【考查方式】已知复合函数，求零点个数. 【参考答案】B （ ） 1 1 1 2 1 2 【试题解析】函数 f ( x )  x 2  ( ) x 的零点，即令 f ( x)  0 ，根据此题可得 x 2  ( ) x ， 在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个 故选答案 B .  6. 已知 an  为等比数列.下面结论中正确的是 A. a1  a2 �2a2 （ ） B. a12  a32 �2a22 C. 若则 a1  a2 ,则 a1  a3 �a2 D. 若 a3  a1 ，则 a4  a2 【测量目标】等比数列的公式与性质. 【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质. 【参考答案】B 【试题解析】当 a1  0, q  0 时，可知 a1  0, a3  0, a2  0, ，所以 A 选项错误；当 q  1 时， C 选项错误；当 q  0 时， a3  a2 � a3 q  a1q � a4  a2 ，与 D 选项矛盾。因此根 据均值定理可知 B 选项正确. 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A. 28  6 5 B. 30  6 5 C. 56  12 5 （ ） D. 60  12 5 【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出三棱锥的三视图，求其表面积. 【参考答案】B 【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个 面 的 面 积 之 和 , 利 用 垂 直 关 系 和 三 角 形 面 积 公 式 ， 可 得 ： S底左 10, S后右=10，，， S =6 5 S =10 ，因此该几何体表面积 S  30+6 5 ，故选 B . 8. 某棵果树前 n 年得总产量 S n 与 n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 m 年 的年平均产量最高， m 的值为 A. 5 B. 7 C. 9 （ D. 11 【测量目标】线性分布的特点与理解. 【考查方式】给出线性分布图，求总量最高 ） 时所对应的横坐标. 【参考答案】C 【试题解析】由图可知 6，7，8，9 这几年增长最快，选超过平均值，所以应该加入，因 此选 C . 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.直线 y  x 被圆 x 2  ( y  2) 2  4 截得的弦长为 . 【测量目标】直线与圆的位置关系. 【考查方式】给出直线与圆的方程，求直线被圆所截的弦长. 【参考答案】 2 2 【 试题 解析 】将 题目 所给 的直 线与 圆的 图形 画出 ，半 弦长 为 d 2 12  (1) 2 l ， 圆心 到直 线的 距离 2  2 ， 以 及 圆 半 径 r  2构 成 了 一 个 直 角 三 角 形 ， 因 此 2 l  r2  d 2  4  2  2 � l2  8 � l  2 2 . 2 10.已知  an  为等差数列， S n 为其前 n 项和.若 a1  1 , S 2  a3 ，则 a2  2 ； Sn  . 【测量目标】等差数列的公式与定义及前 n 项和. 【参考答案】 1 n(n  1) 4 1 1 ，所以 S n  n(n  1) 2 4 π 11. 在 △ ABC 中，若 a  3, b  3 ， �A  ，则 �C 的大小为 3 【试题解析】因为 S 2  a3 ，所以 d  . 【测量目标】正弦定理、余弦定理的运算. 【考查方式】给出两边长及其中一边所对应的角，求另一边的边长. 【参考答案】 π 2 【试题解析】 cos A  c a π b2  c 2  a 2 ，而 sin C  1 � C   � c  2 3 ,而 sin C sin A 2 2bc 12.已知函数 f ( x)  lg x ，若 f ( ab)  1 ，则 f ( a 2 )  f (b 2 )  . 【测量目标】复合函数的求解及对数函数的运算性质. 【考查方式】给出复合函数，代入求值. 【参考答案】2 【试题解析】 Q f ( x)  lg x, f (ab)  1 ， lg(ab)  1 ， f ( a 2 )  f (b 2 )  lg a 2  lg b 2  2 lg(ab)  2 . uuur uuu r 13.已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE gCB 的值为 . 【测量目标】平面几何的理解与向量的运算法则. 【考查方式】给出正方形的边长及个点位置，求两向量的乘积. 【参考答案】1 uuur uuu r uuur uuur uuur uuur 【 试 题 解 析 】 根 据 平 面 向 量 的 点 乘 公 式 DE gCB  DE gDA  DE gDA cos  ， 可 知 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur 2 DE cos   DA ， 因 此 DE gCB  DA  1 ； DE gDC  DE gDC cos   DE gcos  ， uuur uuur uuur uuur uuur 而 DE cos  就是向量 DE 在 DC 边上的射影，要想让 DE gCD 最大，即让射影最大，此 r 时 E 点与 B 点重合，射影为 a ，所以长度为 1. 14.已知 f ( x)  m( x  2m)( x  m  3) ， g ( x)  2 x  2 .若 x �R ， f ( x )  0 或 g ( x)  0 ， 则 m 的取值范围是 . 【测量目标】函数的定义域、值域及函数的求解. 【考查方式】给出带有未知数的两个函数，求函数小于零时的取值范围. 【参考答案】（-4,0） 【 试 题 解 析 】 首 先 看 g ( x)  2 x  2 没 有 参 数 ， 从 g ( x)  2 x  2 入 手 ， 显 然 x  1 时 ， g ( x)  0 ， x �1 时， g ( x) �0 ，而对 x �R ， f ( x)  0 或 g ( x)  0 成立即可，故只要 x �1 时， f ( x)  0 （*）恒成立即可.当 m  0 时， f ( x)  0 ，不符合（*），所以舍去； 当 m  0 时，由 f ( x)  m( x  2m)( x  m  3)  0 得  m  3  x  2m ，并不对 x �1 成 立 ， 舍 去 ； 当 m  0 时 ， 由 f ( x)  m( x  2m)( x  m  3)  0 ， 注 意 2m  0, x �1, 故 x  2m  0 ，所以 x  m  3  0 ，即 m  ( x  3) ，又 x �1 ，故 ( x  3) �(�,  4  ，所 以 m  4 ，又 m  0 ，故 m �(4, 0) ，综上， m 的取值范围是 (4, 0) . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题 13 分） 已知函数 f ( x)  (sin x  cos x)sin 2 x . sin x （1）求 f