教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 绝密★启用前 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A={x | x  1} ， B  {x | x  2} ，则 A∩B= A．(–1，+∞) B．(–∞，2) C．(–1，2) D． � 2．设 z=i(2+i)，则 z = A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i 3．已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|= A． 2 B．2 C．5 2 D．50 4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A． 2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次 序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= e x  1 ，则当 x<0 时，f(x)= A． e  x  1 B． e  x  1 C． e  x  1 D． e  x  1 7．设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是 A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面 8．若 x1=   ，x2= 是函数 f(x)= sin  x (  >0)两个相邻的极值点，则  = 4 4 A．2 B． 3 2 C．1 D． 1 2 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 x2 y 2 9．若抛物线 y =2px（p>0）的焦点是椭圆   1 的一个焦点，则 p= 3p p 2 A．2 B．3 C．4 D．8 10．曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为 A． x  y    1  0 B． 2 x  y  2  1  0 C． 2 x  y  2  1  0 D． x  y    1  0 11．已知 a∈（0， A． π ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2 1 5 C． 3 3 12．设 F 为双曲线 C： B． 5 5 D． 2 5 5 x2 y 2   1 （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF a 2 b2 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 A． 2 B． 3 C．2 D． 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 2 x  3 y  6 �0， � � 13．若变量 x，y 满足约束条件 �x  y  3 �0， 则 z=3x–y 的最大值是___________. �y  2 �0， � 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正 点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站 高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 15 ． △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c. 已 知 bsinA+acosB=0 ， 则 B=___________. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方 体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多 面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美． 图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此 正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题 第一空 2 分，第二空 3 分．） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 E  BB1C1C 的体积． 18．（12 分） 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列， a1  2, a3  2a2  16 . （1）求 {an } 的通项公式； （2）设 bn  log 2 an ，求数列 {bn } 的前 n 项和. 19．（12 分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这 些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表. y 的分组 企业数 [  0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表）.（精确到 0.01） 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 附： 74 �8.602 . 20．（12 分） 已知 F1 , F2 是椭圆 C : x2 y 2   1( a  b  0) 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原 a 2 b2 点． （1）若 △ POF2 为等边三角形，求 C 的离心率； （2)如果存在点 P，使得 PF1  PF2 ，且 △ F1 PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取 值范围. 21.（12 分） 已知函数 f ( x)  ( x  1) ln x  x  1 .证明： （1） f ( x ) 存在唯一的极值点； （2） f ( x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 M (  0 ,  0 )( 0  0) 在曲线 C :   4 sin  上，直线 l 过 点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P. （1）当  0 =  时，求 0 及 l 的极坐标方程； 3 （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 f ( x) | x  a | x  | x  2 | ( x  a). （1）当 a  1 时，求不等式 f ( x)  0 的解集； （2）若 x �(�,1) 时， f ( x)  0 ，求 a 的取值范围. 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A 13．9 14．0.98 15． 3π 4 16． 2  1 17．解：（1）由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE �平面 ABB1A1， 故 B1C1  BE . 又 BE  EC1 ，所以 BE⊥平面 EB1C1 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ∠ BEB1=90°. 由 题 设 知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E ， 所 以 �AEB  �A1 EB1  45�，故 AE=AB=3， AA1  2 AE  6 . 作 EF  BB1 ，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C ，且 EF  AB  3 . 所以，四棱锥 E  BB1C1C 的体积 V  1 �3 �6 �3  18 . 3 18．解：（1）设  an  的公比为q，由题设得 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 2q 2  4q  16 ，即 q 2  2q  8  0 . 解得 q  2 （舍去）或q=4. 因此  an  的通项公式为 an  2 �4 n 1  22 n 1 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 bn  (2n  1) log 2 2  2n  1 ， 因 此 数 列  bn  的 前 n 项 和 为 1  3  L  2n  1  n . 19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40% 的企业频率为 14  7  0.21 . 100 产值负增长的企业频率为 2  0.02 . 100 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值