2015 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷文科数学试题 第Ⅰ卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，则( ABB(） A   x | 2  x  4 ，（) {x| x  1 x  3  0} ) （A） 12,,4343 （B） （C） （D） 2. 若复数 Z 满足，其中为虚数单位，则 （A） （B） （C） 3. 设则的大小关系是( （D） ) zi i Z=(  111  ii i b 1.5c a  0.60.6，，， ba，，  0.6 ) c  1.50.6 aba＜＜ ＜＜ ccab bac   （A） （B） （C） （D）[来源:学|科|网] 4. 要得到函数 的图象，只需要将函 数的图象（ ） （A）向左平 移个单位 y ysin ） （44xx sin 3  12 （B）向右平移个单位 （C）向左平移个单位 （D）向右平移个  单位 3 R 0 5. 设,命题“若,则方程有实根”的逆否 x 2 mx �0  m 命题是( ) （A）若方程有实根，则 0 0 x 2 mx  m (B) 若方程有实根，则 0 0 x 2 mx �m (C) 若方程没 0 0 x 2 mx  m 有实根，则 (D) 若方程没有实根，则 0 0 x 2 mx �m 6. 为比较甲、 乙两地某月 1 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据（单位：℃）制 成如图所示的茎叶图.考虑以下结论： ① 甲地该月 14 时的平均气温 低于乙地该月 14 时的平均气 温； ② 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； ③ 甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； ④ 甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) （A）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 7. 在区间上随机地取一个数,则事 件“”发生的概率为( ) （A） （B） （C） （D） 8. 若函数是奇函数，则使成立的的 取值范围为( ) 0,x2 1 � -1 �log（）1 1 x 2 2 123 （） f x43x 2x3 1 f ( x)  x 2 a （） 1,0,1 � found) (B)(Error: Reference source （A）( Error: Reference source not （） not found) （C） （D） 9. 已知等腰 直角三角形的 直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的 体积为( （A） ) （B） （C） 10.设函数，若，则 ( ) （A） （B） （C） (D) （D） 2 4 2 2  3 b35x b, x  1 � ( ))x  4 f ( x )f ( f� �6 7312 , x �1 824 第Ⅱ卷（共 100 分） 2 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 1yx 11. 执行右边 的程序框图， 若输入的的值为，则输出的的值是 12. 若满足约束条件则的最大值 为 . 13. 过点作圆 Error: Reference . z yxx,xy� 31y � � �x  y �3, � y �1 � A, B P （1，） 3 source not found 的两条切线，切点分别为，则 Error: Reference source not found= . 14. 定义运算“”： （）.当时，的 最小值是 . 15. 过双曲线 的右焦点作一 � x， � x yy0， R(2x,y2xy y)� 0y 20x x �y  xy 2a C： C （） ax 2 0, Pyb2  0  1 a2 a2 条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 ． 16. （本小题满分 12 分）[来源:Z*xx*k.Com] 某中学调查了某班全部名同学参加书法社团 45 和演讲社团的情况，数据如下表：（单位： 人）[来源:学|科|网] 参加书法社团 未参加书法社团 8 5 30 2 未参加演讲社团 （1）从该班随机选名同学，求该同学至少 1 参加上述一个社团的概率； 参加演讲社团 （2）在既参 8531321 A A1，，，， A B21，， B AB A B43 . A5 , 加书法社团又 参加演讲社团的名同学中，有 5 名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选 人，求被选中且未被选中的概率. 3 17. (本小题满分 12 分) 中，角所对的边分别为. 已知 求 和 的值. 18. 如图，三 cos B  A，， aABC ,B b, c C 3 6 ,sin ( A  B )  , ac  2 3 3 9 sinc A ABDEF AC 2 DE ，  ，， BC ABC G H 棱台中，分别 为的中点. （I）求证：平面； （II）若求证： BD FGH // CF  BC BCD EGH ，， AB   BC 平面平面. 4 19. （本小题满分 12 分） nn  已知数列是首项为正数的等差数列，数 �  a1 n � � 2n  1 � �an �an 1 列的前项和为. （I）求数列的通项公式； （II）设，求数列的前项和.  an  bn   a T bnnn 1 � 2a n 20. (本小题满分 13 分) 设函数 Error: Reference source not (1, f (1)) found. 已知曲线 Error: Reference source not found 在点处的切线与直线 Error: Reference source not found 平行. a （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）是否存 (k , kk  1) 在自然数，使 得方程 Error: Reference source not found 在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果 不存在，请说明理由； （Ⅲ）设函数 Error: Reference min mp{,pxq, q} source not found（表示，中的较小值），求的最大值. 21. (本小题满分 14 分)[来源:学科网 ZXXK] 5 平面直角坐标系中，已知椭圆： x 2 的离心率为，且点（，）在椭圆  + 2 C 13 y 2 xOy =1(  >b >0) 2 b2 2 上. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭 圆：，为椭圆 C 2 m PO C Q P,yB+ E xy2 =Akx + =1 4a2 4b2 上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点. （i）求的值； (ii)求面积的最大值. |OQ | | |OP ABQ 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷文科数学试题答案 一、选择题： 6 CACBD     BACBD 二、填空题： （11）；（12）；（13）；（14）； 三、解答题： （16）参考答案： （1）由调查数据可知，既未参加书 法社团又未参加演讲社团的有人， 732 3 （15）； 2 13 2 45 15 30 1  15 1 P  . 45 3 故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述 一个社团的概率为 { A1 , B1},{ A1 , B2 },{ A1 , B3},{ A2 , B1},{ A2 ,531B2 },{ A2 , B3},{ A3 , B1},{ A3 , B2 },{ A3 , B3}, (2)从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有： 15 A5 , B1},{ A5 , B2 },{ A5 , B3} ，共个. 学科网 { A4 , B1},{ A4 , B2 },{ A4 , B3},{ 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. 21 A1 , B3 } 事件“被选中且未被选中”所包含 { A1 , B2 },{ B A 的基本事件有：，共个. 因此被选中且未被选中的概率为. （17）参考答案： B A2 P 1 15 ABC 63 cos sin B  A  B  C 3  6 因为，所以， sin C  sin( A  B )  sin C C  sin B5 B 因为，所以，为锐角，， 3 9 cos C  sin A  sin(6B 5C )3 sin3B 9cos6C 2cos2 B sin C 因此.  �  �  3 9aacc2321 2c3 9 3 由可得，又，所以.  , c c sin sinAA sin C （18）参考答案： a  3  2 3c sin C 6 AB DEF  � DFCG CD 2AC BC GF ,/DE /ABC BD  ， GGC / HM /DG GC MH M H CD DF . M （I）证法一：连接设,连接， DFCD 9 在中，由，得. 在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则为的中点，又是 的中点，所以, BD FGH /� / HM � 又平面，平面，所以平面. 证法二：在三棱台中，由为的中 DEF ABC BC BC 2EF ,H 点， 可得所以为平行四边形，可得 /, /BH HF . EF , BH / /BE EF HBEF  7 AC  GABC ， ，H BC 在中，分别为的中点， GH �/HF GH / AB, H 所以又， FGH ABED/ / 所以平面平面， 因为平面， ABED BD � 所以平面. BD FGH // (II)证明：连接.因为分别为的 CF AC EF